(本小题满分14分)
已知中心在坐标轴原点O的椭圆C经过点A(1,),且点F(-1,0)为其左焦点.
(I)求椭圆C的离心率;
(II)试判断以AF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系,并说明理由.
(本小题满分9分)设在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片,标号分别记为,设随机变量
.
(1)写出的可能取值,并求随机变量
的最大值;
(2)求事件“取得最大值”的概率;
(3)求的分布列和数学期望与方差.
(本小题满分10分)经过点,倾斜角为
的直线
,与曲线
:
(
为参数)相交于
两点.
(1)写出直线的参数方程,并求当
时弦
的长;[
(2)当恰为
的中点时,求直线
的方程;
(3)当时,求直线
的方程;
(4)当变化时,求弦
的中点的轨迹方程.
(本小题满分10分)设,其中
为正整数.
(1)求,
,
的值;
(2)猜想满足不等式的正整数
的范围,并用数学归纳法证明你的猜想.
(本小题满分8分)设函数.
(1)当时,解关于
的不等式
;
(2)如果,
,求
的取值范围.
已知各项均为正数的数列 的前 项和满足 ,且 .
(1)求
的通项公式;
(2)设数列
满足
,并记
为
的前
项和,求证:
.