根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为，则输出y的值为若输-优题课

如图所示，二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a > 0)$ 的图象（记为抛物线 $Γ)$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与 $x$ 轴分别交于点 $A$ 、 $B$ ，点 $A$ 、 $B$ 的横坐标分别记为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $0 < x_{1} < x_{2}$ ．

（1）若 $a = c$ ， $b = - 3$ ，且过点 $(1, - 1)$ ，求该二次函数的表达式；

（2）若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + bx + c = 0$ 的判别式△ $= 4$ ．求证：当 $b < - \frac{5}{2}$ 时，二次函数 $y_{1} = a x^{2} + (b + 1) x + c$ 的图象与 $x$ 轴没有交点．

（3）若 $A B^{2} = \frac{c^{2} - 2 c + 6}{c}$ ，点 $P$ 的坐标为 $(- \sqrt{x_{0}}$ ， $- 1)$ ，过点 $P$ 作直线 $l$ 垂直于 $y$ 轴，且抛物线的 $Γ$ 的顶点在直线 $l$ 上，连接 $OP$ 、 $AP$ 、 $BP$ ， $PA$ 的延长线与抛物线 $Γ$ 交于点 $D$ ，若 $∠ OPB = ∠ DAB$ ，求 $x_{0}$ 的最小值．

如图所示， $ΔOAB$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上，直线 $AB$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ，且点 $C$ 的纵坐标为5，过点 $A$ 、 $B$ 分别作 $y$ 轴的垂线 $AE$ 、 $BF$ ，垂足分别为点 $E$ 、 $F$ ，且 $AE = 1$ ．

（1）若点 $E$ 为线段 $OC$ 的中点，求 $k$ 的值；

（2）若 $ΔOAB$ 为等腰直角三角形， $∠ AOB = 90 °$ ，其面积小于3．

①求证： $ΔOAE ≅ ΔBOF$ ；

②把 $| x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ 称为 $M (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $N (x_{2}$ ， $y_{2})$ 两点间的“ $ZJ$ 距离”，记为 $d (M, N)$ ，求 $d (A$ ， $C) + d (A$ ， $B)$ 的值．

$AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点，连接 $AC$ 、 $BC$ ，直线 $MN$ 过点 $C$ ，满足 $∠ BCM = ∠ BAC = α$ ．

（1）如图①，求证：直线 $MN$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）如图②，点 $D$ 在线段 $BC$ 上，过点 $D$ 作 $DH ⊥ MN$ 于点 $H$ ，直线 $DH$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ 、 $F$ ，连接 $AF$ 并延长交直线 $MN$ 于点 $G$ ，连接 $CE$ ，且 $CE = \frac{5}{3}$ ，若 $⊙ O$ 的半径为1， $\cos α = \frac{3}{4}$ ，求 $AG \cdot ED$ 的值．

如图所示， $ΔBEF$ 的顶点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 对角线 $AC$ 的延长线上， $AE$ 与 $BF$ 交于点 $G$ ，连接 $AF$ 、 $CF$ ，满足 $ΔABF ≅ ΔCBE$ ．

（1）求证： $∠ EBF = 90 °$ ．

（2）若正方形 $ABCD$ 的边长为1， $CE = 2$ ，求 $\tan ∠ AFC$ 的值．

近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代办点来代寄包裹．某快递公司某地区一代办点对60天中每天代寄的包裹数与天数的数据（每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下：

（1）求该数据中每天代寄包裹数在 $50.5 ~ 200.5$ 范围内的天数；

（2）若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：重量小于或等于1千克的包裹收费8元；重量超1千克的包裹，在收费8元的基础上，每超过1千克（不足1千克的按1千克计算）需再收取2元．

①某顾客到该代办点寄重量为1.6千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？

②这60天中，该代办点为顾客代寄的包裹中有一部分重量超过2千克，且不超过5千克．现从中随机抽取40件包裹的重量数据作为样本，统计如下：

重量 $G$ （单位：千克）	$2 < G ⩽ 3$	$3 < G ⩽ 4$	$4 < G ⩽ 5$
件数（单位：件）	15	10	15

求这40件包裹收取费用的平均数．