(本题满分10分)已知，，求的值．-优题课

已知：如图1，在锐角 $ΔABC$ 中， $AB = c$ ， $BC = a$ ， $AC = b$ ， $AD ⊥ BC$ 于 $D$ ．

在 $Rt Δ ABD$ 中， $\sin ∠ B = \frac{AD}{c}$ ，则 $AD = c \sin ∠ B$ ；

在 $Rt Δ ACD$ 中， $\sin ∠ C =$ 　　，则 $AD =$ 　　；

所以， $c \sin ∠ B = b \sin ∠ C$ ，即， $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ ，

进一步即得正弦定理： $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ （此定理适合任意锐角三角形）．

参照利用正弦定理解答下题：

如图2，在 $ΔABC$ 中， $∠ B = 75 °$ ， $∠ C = 45 °$ ， $BC = 2$ ，求 $AB$ 的长．

红旗连锁超市花2000购进一批糖果，按 $80 %$ 的利润定价无人购买，决定降价出售，但仍无人购买．结果又一次降价后才售完，但仍盈利 $45.8 %$ ，两次降价的百分率相同，问每次降价的百分率是多少？

如图，四边形 $ABCD$ 是平行四边形，延长 $BA$ 至 $E$ ，延长 $DC$ 至 $F$ ，使得 $AE = CF$ ，连接 $EF$ 交 $AD$ 于 $G$ ，交 $BC$ 于 $H$ ．求证： $ΔAEG ≅ ΔCFH$ ．

如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点， $B$ 点坐标为 $(3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形 $ABPC$ 的面积最大时，求点 $P$ 的坐标和四边形 $ABPC$ 的最大面积．

（3）直线 $l$ 经过 $A$ 、 $C$ 两点，点 $Q$ 在抛物线位于 $y$ 轴左侧的部分上运动，直线 $m$ 经过点 $B$ 和点 $Q$ ，是否存在直线 $m$ ，使得直线 $l$ 、 $m$ 与 $x$ 轴围成的三角形和直线 $l$ 、 $m$ 与 $y$ 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线 $m$ 的解析式，若不存在，请说明理由．

如图，在 $ΔAOB$ 中， $∠ AOB$ 为直角， $OA = 6$ ， $OB = 8$ ，半径为2的动圆圆心 $Q$ 从点 $O$ 出发，沿着 $OA$ 方向以1个单位长度 $/$ 秒的速度匀速运动，同时动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿着 $AB$ 方向也以1个单位长度 $/$ 秒的速度匀速运动，设运动时间为 $t$ 秒 $(0 < t ⩽ 5)$ 以 $P$ 为圆心， $PA$ 长为半径的 $⊙ P$ 与 $AB$ 、 $OA$ 的另一个交点分别为 $C$ 、 $D$ ，连接 $CD$ 、 $QC$ ．

（1）当 $t$ 为何值时，点 $Q$ 与点 $D$ 重合？

（2）当 $⊙ Q$ 经过点 $A$ 时，求 $⊙ P$ 被 $OB$ 截得的弦长．

（3）若 $⊙ P$ 与线段 $QC$ 只有一个公共点，求 $t$ 的取值范围．