先化简：，再任选一个你喜欢的数代入求值．-优题课

为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环 $⊙ O$ 与水平地面相切于点 $C$ ，推杆 $A B$ 与铅垂线 $A D$ 的夹角为 $∠ B A D$ ，点 $O ， A ， B ， C ， D$ 在同一平面内．当推杆 $A B$ 与铁环 $⊙ O$ 相切于点 $B$ 时，手上的力量通过切点 $B$ 传递到铁环上，会有较好的启动效果．

（1）求证： $∠ B O C + ∠ B A D ＝ 90 °$ ．

（2）实践中发现，切点 $B$ 只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点 $B$ 是该区域内最低位置，此时点 $B$ 距地面的距离 $A D$ 最小，测得 $\cos ∠ B A D = \frac{3}{5}$ ．已知铁环 $⊙ O$ 的半径为 $25 c m$ ，推杆 $A B$ 的长为 $75 c m$ ，求此时 $A D$ 的长．

小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头 $P$ 距地面 $0.7 m$ ，水柱在距喷水头 $P$ 水平距离 $5 m$ 处达到最高，最高点距地面 $3.2 m$ ；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 $y ＝ a （ x ﹣ h ）^{2} + k$ ，其中 $x （ m ）$ 是水柱距喷水头的水平距离， $y （ m ）$ 是水柱距地面的高度．

（1）求抛物线的表达式．

（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头 $P$ 水平距离 $3 m$ ．身高 $1.6 m$ 的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．

近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆 $A$ 种菜苗的价格是菜苗基地的 $\frac{5}{4}$ 倍，用 $300$ 元在市场上购买的 $A$ 种菜苗比在菜苗基地购买的少 $3$ 捆．

（1）求菜苗基地每捆 $A$ 种菜苗的价格．

（2）菜苗基地每捆 $B$ 种菜苗的价格是 $30$ 元．学校决定在菜苗基地购买 $A ， B$ 两种菜苗共 $100$ 捆，且 $A$ 种菜苗的捆数不超过 $B$ 种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对 $A ， B$ 两种菜苗均提供 $九$ 折优惠．求本次购买最少花费多少钱．

开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁 $D C$ 的高度，如图，在 $A$ 处用测角仪测得拂云阁顶端 $D$ 的仰角为 $34 °$ ，沿 $A C$ 方向前进 $15 m$ 到达 $B$ 处，又测得拂云阁顶端 $D$ 的仰角为 $45 °$ ．已知测角仪的高度为 $1.5 m$ ，测量点 $A ， B$ 与拂云阁 $D C$ 的底部 $C$ 在同一水平线上，求拂云阁 $D C$ 的高度（结果精确到 $1 m$ ．参考数据： $\sin 34 ° \approx 0.56 ， \cos 34 ° \approx 0.83 ， \tan 34 ° \approx 0.67$ ）．

如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} （ x ＞ 0 ）$ 的图象经过点 $A （ 2 ， 4 ）$ 和点 $B$ ，点 $B$ 在点 $A$ 的下方， $A C$ 平分 $∠ O A B$ ，交 $x$ 轴于点 $C$ ．

（1）求反比例函数的表达式．

（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段 $A C$ 的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）

（3）线段 $O A$ 与（2）中所作的垂直平分线相交于点 $D$ ，连接 $C D$ ．求证： $C D ∥ A B$ ．