(8分)在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图）-优题课

小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．

（一 $)$ 猜测探究

在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $M$ 是平面内任意一点，将线段 $AM$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转与 $∠ BAC$ 相等的角度，得到线段 $AN$ ，连接 $NB$ ．

（1）如图1，若 $M$ 是线段 $BC$ 上的任意一点，请直接写出 $∠ NAB$ 与 $∠ MAC$ 的数量关系是　 $∠ NAB = ∠ MAC$ 　， $NB$ 与 $MC$ 的数量关系是　　；

（2）如图2，点 $E$ 是 $AB$ 延长线上点，若 $M$ 是 $∠ CBE$ 内部射线 $BD$ 上任意一点，连接 $MC$ ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．

（二 $)$ 拓展应用

如图3，在△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = 8$ ， $∠ A_{1} B_{1} C_{1} = 60 °$ ， $∠ B_{1} A_{1} C_{1} = 75 °$ ， $P$ 是 $B_{1} C_{1}$ 上的任意点，连接 $A_{1} P$ ，将 $A_{1} P$ 绕点 $A_{1}$ 按顺时针方向旋转 $75 °$ ，得到线段 $A_{1} Q$ ，连接 $B_{1} Q$ ．求线段 $B_{1} Q$ 长度的最小值．

如图1，点 $A (0, 8)$ 、点 $B (2, a)$ 在直线 $y = - 2 x + b$ 上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $B$ ．

（1）求 $a$ 和 $k$ 的值；

（2）将线段 $AB$ 向右平移 $m$ 个单位长度 $(m > 0)$ ，得到对应线段 $CD$ ，连接 $AC$ 、 $BD$ ．

①如图2，当 $m = 3$ 时，过 $D$ 作 $DF ⊥ x$ 轴于点 $F$ ，交反比例函数图象于点 $E$ ，求 $\frac{DE}{EF}$ 的值；

②在线段 $AB$ 运动过程中，连接 $BC$ ，若 $ΔBCD$ 是以 $BC$ 为腰的等腰三角形，求所有满足条件的 $m$ 的值．

某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：

4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.1 5.2

5.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2

4.4 4.2 4.3 5.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1

4.2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 5.2 5.3

根据数据绘制了如下的表格和统计图：

等级	视力 $(x)$	频数	频率
$A$	$x < 4.2$	4	0.1
$B$	$4.2 ⩽ x ⩽ 4.4$	12	0.3
$C$	$4.5 ⩽ x ⩽ 4.7$	$a$
$D$	$4.8 ⩽ x ⩽ 5.0$		$b$
$E$	$5.1 ⩽ x ⩽ 5.3$	10	0.25
合计		40	1

根据上面提供的信息，回答下列问题：

（1）统计表中的 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）请补全条形统计图；

（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“ $E$ 级”的有多少人？

（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．

如图， $AB$ 、 $CD$ 是 $⊙ O$ 的两条直径，过点 $C$ 的 $⊙ O$ 的切线交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $AC$ 、 $BD$ ．

（1）求证； $∠ ABD = ∠ CAB$ ；

（2）若 $B$ 是 $OE$ 的中点， $AC = 12$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买 $A$ 种图书花费了3000元，购买 $B$ 种图书花费了1600元， $A$ 种图书的单价是 $B$ 种图书的1.5倍，购买 $A$ 种图书的数量比 $B$ 种图书多20本．

（1）求 $A$ 和 $B$ 两种图书的单价；

（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了 $A$ 种图书20本和 $B$ 种图书25本，共花费多少元？