如图，已知关于的一元二次函数（）的图象与轴相交于、两点（点在-优题课

题文

如图，已知关于的一元二次函数（）的图象与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，顶点为．

⑴ 求出一元二次函数的关系式；
⑵ 点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为．若，的面积为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
⑶ 探索线段上是否存在点，使得为直角三角形，如果存在，求出的坐标；如果不存在，请说明理由．

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如图，已知四边形 $ABCD$ 内接于圆 $O$ ，连接 $BD$ ， $∠ BAD = 105 °$ ， $∠ DBC = 75 °$ ．

（1）求证： $BD = CD$ ；

（2）若圆 $O$ 的半径为3，求 $\hat{BC}$ 的长．

湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘．

（1）求鱼塘的长 $y$ （米 $)$ 关于宽 $x$ （米 $)$ 的函数表达式；

（2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米，鱼塘的长为多少米？

在线段 $AB$ 的同侧作射线 $AM$ 和 $BN$ ，若 $∠ MAB$ 与 $∠ NBA$ 的平分线分别交射线 $BN$ ， $AM$ 于点 $E$ ， $F$ ， $AE$ 和 $BF$ 交于点 $P$ ．如图，点点同学发现当射线 $AM$ ， $BN$ 交于点 $C$ ；且 $∠ ACB = 60 °$ 时，有以下两个结论：

① $∠ APB = 120 °$ ；② $AF + BE = AB$ ．

那么，当 $AM / / BN$ 时：

（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出 $∠ APB$ 的度数，写出 $AF$ ， $BE$ ， $AB$ 长度之间的等量关系，并给予证明；

（2）设点 $Q$ 为线段 $AE$ 上一点， $QB = 5$ ，若 $AF + BE = 16$ ，四边形 $ABEF$ 的面积为 $32 \sqrt{3}$ ，求 $AQ$ 的长．

已知函数 $y_{1} = a x^{2} + bx$ ， $y_{2} = ax + b (ab \neq 0)$ ．在同一平面直角坐标系中．

（1）若函数 $y_{1}$ 的图象过点 $(- 1, 0)$ ，函数 $y_{2}$ 的图象过点 $(1, 2)$ ，求 $a$ ， $b$ 的值．

（2）若函数 $y_{2}$ 的图象经过 $y_{1}$ 的顶点．

①求证： $2 a + b = 0$ ；

②当 $1 < x < \frac{3}{2}$ 时，比较 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小．

如图，已知四边形 $ABCD$ 和四边形 $DEFG$ 为正方形，点 $E$ 在线段 $DC$ 上，点 $A$ ， $D$ ， $G$ 在同一直线上，且 $AD = 3$ ， $DE = 1$ ，连接 $AC$ ， $CG$ ， $AE$ ，并延长 $AE$ 交 $CG$ 于点 $H$ ．

（1）求 $\sin ∠ EAC$ 的值．

（2）求线段 $AH$ 的长．

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