解方程：．-优题课

为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到图表：

该地区每周接种疫苗人数统计表

周次	第1周	第2周	第3周	第4周	第5周	第6周	第7周	第8周
接种人数（万人）	7	10	12	18	25	29	37	42

根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点 $(3, 12)$ 、 $(8, 42)$ 作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为 $y = 6 x - 6)$ ，那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势．

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）这八周中每周接种人数的平均数为　　万人；该地区的总人口约为　　万人；

（2）若从第9周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势．

①估计第9周的接种人数约为　　万人；

②专家表示：疫苗接种率至少达 $60 %$ ，才能实现全民免疫．那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？

（3）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少 $a (a > 0)$ 万人，为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在20万人．如果 $a = 1.8$ ，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？

某种落地灯如图1所示， $AB$ 为立杆，其高为 $84 cm$ ； $BC$ 为支杆，它可绕点 $B$ 旋转，其中 $BC$ 长为 $54 cm$ ； $DE$ 为悬杆，滑动悬杆可调节 $CD$ 的长度．支杆 $BC$ 与悬杆 $DE$ 之间的夹角 $∠ BCD$ 为 $60 °$ ．

（1）如图2，当支杆 $BC$ 与地面垂直，且 $CD$ 的长为 $50 cm$ 时，求灯泡悬挂点 $D$ 距离地面的高度；

（2）在图2所示的状态下，将支杆 $BC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $20 °$ ，同时调节 $CD$ 的长（如图 $3)$ ，此时测得灯泡悬挂点 $D$ 到地面的距离为 $90 cm$ ，求 $CD$ 的长．（结果精确到 $1 cm$ ，参考数据： $\sin 20 ° \approx 0.34$ ， $\cos 20 ° \approx 0.94$ ， $\tan 20 ° \approx 0.36$ ， $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84)$

如图， $O$ 为线段 $PB$ 上一点，以 $O$ 为圆心， $OB$ 长为半径的 $⊙ O$ 交 $PB$ 于点 $A$ ，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，连接 $PC$ ，满足 $P C^{2} = PA \cdot PB$ ．

（1）求证： $PC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AB = 3 PA$ ，求 $\frac{AC}{BC}$ 的值．

如图， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $ΔABC$ 各边的中点，连接 $DE$ 、 $EF$ 、 $AE$ ．

（1）求证：四边形 $ADEF$ 为平行四边形；

（2）加上条件　　后，能使得四边形 $ADEF$ 为菱形，请从① $∠ BAC = 90 °$ ；② $AE$ 平分 $∠ BAC$ ；③ $AB = AC$ 这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．

圆周率 $π$ 是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对 $π$ 有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出 $π$ 的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着 $π$ 小数部分位数的增加， $0 ~ 9$ 这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．

（1）从 $π$ 的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为　　；

（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）