解方程：．-优题课

题文

解方程：．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：多元一次方程组

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某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的 $A$ 处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端 $M$ 点的仰角为 $23 °$ ，此时测得小军的眼睛距地面的高度 $AB$ 为1.7米，然后，小军在 $A$ 处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端 $M$ 点的仰角为 $24 °$ ，这时测得小军的眼睛距地面的高度 $AC$ 为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离 $AN$ 的长（结果精确到1米）．（参考数据： $\sin 23 ° \approx 0.3907$ ， $\cos 23 ° \approx 0.9205$ ， $\tan 23 ° \approx 0.4245$ ， $\sin 24 ° \approx 0.4067$ ， $\cos 24 ° \approx 0.9135$ ， $\tan 24 ° \approx 0.4452$ ． $)$

如图，在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为边 $AD$ 和 $CD$ 上的点，且 $AE = CF$ ，连接 $AF$ 、 $CE$ 交于点 $G$ ．求证： $AG = CG$ ．

养成良好的早锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益，某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况，校政教处在七年级随机抽取了部分学生，并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间 $x$ （分钟）进行了调查．现把调查结果分成 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四组，如表所示，同时，将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．

分组	早锻炼时间 $/$ 分钟
$A$	$0 ~ 10$
$B$	$10 ~ 20$
$C$	$20 ~ 30$
$D$	$30 ~ 40$

请你根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图和扇形统计图；

（2）所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数落在　　区间内；

（3）已知该校七年级共有1200名学生，请你估计这个年级学生中约有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟．（早锻炼：指学生在早晨 $7 : 00 ~ 7 : 40$ 之间的锻炼）

如图，在钝角 $ΔABC$ 中，过钝角顶点 $B$ 作 $BD ⊥ BC$ 交 $AC$ 于点 $D$ ．请用尺规作图法在 $BC$ 边上求作一点 $P$ ，使得点 $P$ 到 $AC$ 的距离等于 $BP$ 的长．（保留作图痕迹，不写作法）

（1）如图①，点 $A$ 是 $⊙ O$ 外一点，点 $P$ 是 $⊙ O$ 上一动点．若 $⊙ O$ 的半径为3，且 $OA = 5$ ，则点 $P$ 到点 $A$ 的最短距离为　；

（2）如图②，已知正方形 $ABCD$ 的边长为4，点 $M$ 、 $N$ 分别从点 $B$ 、 $C$ 同时出发，以相同的速度沿边 $BC$ 、 $CD$ 方向向终点 $C$ 和 $D$ 运动，连接 $AM$ 和 $BN$ 交于点 $P$ ，则点 $P$ 到点 $C$ 的最短距离为　　；

（3）如图③，在等边 $ΔABC$ 中， $AB = 6$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别从点 $B$ 、 $C$ 同时出发，以相同的速度沿边 $BC$ 、 $CA$ 方向向终点 $C$ 和 $A$ 运动，连接 $AM$ 和 $BN$ 交于点 $P$ ，求 $ΔAPB$ 面积的最大值，并说明理由．

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