在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA<OB,以-优题课

超市购进某种苹果，如果进价增加 $2$ 元 $/ kg$ 要用300元；如果进价减少2元 $/ kg$ ，同样数量的苹果只用 $200$ 元.

（1）求苹果的进价；

（2）如果购进这种苹果不超过 $100 kg$ ，就按原价购进；如果购进苹果超过 $100 kg$ ，超过部分购进价格减少 $2$ 元 $/ kg$ ，写出购进苹果的支出 $y ($ 元 $)$ 与购进数量 $x (kg)$ 之间的函数关系式；

（3）超市一天购进苹果数量不超过 $300 kg$ ，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价 $z ($ 元 $/ kg)$ 与一天销售数量 $x (kg)$ 的关系为 $z = - \frac{1}{100} x + 12$ .在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润 $w$ （元）最大，求一天购进的苹果数量.（利润=销售收入-购进支出）

我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一轾，即三角形的三边长分别为 $a, b, c$ ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，则其面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .这个公式也被称为海伦秦九韶公式.若 $p = 5, c = 4$ ，求此三角形面积的最大值.

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 过 $(0, 4), (2, - 2)$ 两点，当抛物线在轴上截得的线段最短时，求这时的抛物线的解析式.

已知 $x, y, z$ 均为非负数且满足 $x = y + z - 1 = 4 - y - 2 x$ .

（1）用 $x$ 表示 $y, z$ ；

（2）求 $u = 2 x^{2} - 2 y + z$ 的最小值.

已知函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{13}{2}$ ，当 $a ⩽ x ⩽ b$ 时， $y$ 的最小值为 $2 a$ ，最大值为 $2 b$ ，求 $a, b$ 的值.