（本小题满分8分）（神奇的数学游戏）根据下面的游戏向导来试着-优题课

学习一定要讲究方法，比如有效的预习可大幅提高听课效率．九年级（1）班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况，对该校九年级学生每天的课前预习时间（单位： $\min)$ 进行了抽样调查，并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数、频率分布表和频数分布扇形图：

请根据图表中的信息，回答下列问题：

（1）本次调查的样本容量为　　，表中的 $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　；

（2）试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数；

（3）该校九年级共有1000名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于 $20 \min$ 的学生人数．

计算： $1 - (\frac{1}{a + 3} + \frac{6}{a^{2} - 9}) \div \frac{a + 3}{a^{2} - 6 a + 9}$ ．

如图1，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 8$ ， $AD = 10$ ， $E$ 是 $CD$ 边上一点，连接 $AE$ ，将矩形 $ABCD$ 沿 $AE$ 折叠，顶点 $D$ 恰好落在 $BC$ 边上点 $F$ 处，延长 $AE$ 交 $BC$ 的延长线于点 $G$ ．

（1）求线段 $CE$ 的长；

（2）如图2， $M$ ， $N$ 分别是线段 $AG$ ， $DG$ 上的动点（与端点不重合），且 $∠ DMN = ∠ DAM$ ，设 $AM = x$ ， $DN = y$ ．

①写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并求出 $y$ 的最小值；

②是否存在这样的点 $M$ ，使 $ΔDMN$ 是等腰三角形？若存在，请求出 $x$ 的值；若不存在，请说明理由．

阅读下面的材料：

如果函数 $y = f (x)$ 满足：对于自变量 $x$ 的取值范围内的任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，

（1）若 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ，则称 $f (x)$ 是增函数；

（2）若 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ，则称 $f (x)$ 是减函数．

例题：证明函数 $f (x) = \frac{6}{x} (x > 0)$ 是减函数．

证明：设 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，

$f (x_{1}) - f (x_{2}) = \frac{6}{x_{1}} - \frac{6}{x_{2}} = \frac{6 x_{2} - 6 x_{1}}{x_{1} x_{2}} = \frac{6 (x_{2} - x_{1})}{x_{1} x_{2}}$ ．

$∵ 0 < x_{1} < x_{2}$ ，

$∴ x_{2} - x_{1} > 0$ ， $x_{1} x_{2} > 0$ ．

$∴ \frac{6 (x_{2} - x_{1})}{x_{1} x_{2}} > 0$ ．即 $f (x_{1}) - f (x_{2}) > 0$ ．

$∴ f (x_{1}) > f (x_{2})$ ．

$∴$ 函数 $f (x) = = \frac{6}{x} (x > 0)$ 是减函数．

根据以上材料，解答下面的问题：

已知函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2}} + x (x < 0)$ ，

$f (- 1) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}} + (- 1) = 0$ ， $f (- 2) = \frac{1}{{(- 2)}^{2}} + (- 2) = - \frac{7}{4}$

（1）计算： $f (- 3) =$ 　 $- \frac{26}{9}$ 　， $f (- 4) =$ 　　；

（2）猜想：函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2}} + x (x < 0)$ 是　　函数（填“增”或“减” $)$ ；

（3）请仿照例题证明你的猜想．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点， $D$ 是 $\hat{AC}$ 的中点， $E$ 为 $OD$ 延长线上一点，且 $∠ CAE = 2 ∠ C$ ， $AC$ 与 $BD$ 交于点 $H$ ，与 $OE$ 交于点 $F$ ．

（1）求证： $AE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $DH = 9$ ， $\tan C = \frac{3}{4}$ ，求直径 $AB$ 的长．