如图，CD是线段AB上任意两点，E是线段AC的中点，F是线段-优题课

如图，把 $ΔABC$ 沿 $BC$ 翻折得 $ΔDBC$ ．

（1）连接 $AD$ ，则 $BC$ 与 $AD$ 的位置关系是　　．

（2）不在原图中添加字母和线段，只加一个条件使四边形 $ABDC$ 是平行四边形，写出添加的条件，并说明理由．

小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：

求解体验：

（1）已知抛物线 $y = - x^{2} + bx - 3$ 经过点 $(- 1, 0)$ ，则 $b =$ 　　，顶点坐标为　　，该抛物线关于点 $(0, 1)$ 成中心对称的抛物线表达式是　　．

抽象感悟：

我们定义：对于抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ ，以 $y$ 轴上的点 $M (0, m)$ 为中心，作该抛物线关于点 $M$ 中心对称的抛物线 $y'$ ，则我们又称抛物线 $y'$ 为抛物线 $y$ 的“衍生抛物线”，点 $M$ 为“衍生中心”．

（2）已知抛物线 $y = - x^{2} - 2 x + 5$ 关于点 $(0, m)$ 的衍生抛物线为 $y'$ ，若这两条抛物线有交点，求 $m$ 的取值范围．

问题解决：

（3）已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 ax - b (a \neq 0)$

①若抛物线 $y$ 的衍生抛物线为 $y' = b x^{2} - 2 bx + a^{2} (b \neq 0)$ ，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 $a$ 、 $b$ 的值及衍生中心的坐标；

②若抛物线 $y$ 关于点 $(0, k + 1^{2})$ 的衍生抛物线为 $y_{1}$ ，其顶点为 $A_{1}$ ；关于点 $(0, k + 2^{2})$ 的衍生抛物线为 $y_{2}$ ，其顶点为 $A_{2}$ ； $\dots$ ；关于点 $(0, k + n^{2})$ 的衍生抛物线为 $y_{n}$ ，其顶点为 $A_{n} \dots (n$ 为正整数）．求 $A_{n} A_{n + 1}$ 的长（用含 $n$ 的式子表示）．

在菱形 $ABCD$ 中， $∠ ABC = 60 °$ ，点 $P$ 是射线 $BD$ 上一动点，以 $AP$ 为边向右侧作等边 $ΔAPE$ ，点 $E$ 的位置随着点 $P$ 的位置变化而变化．

（1）如图1，当点 $E$ 在菱形 $ABCD$ 内部或边上时，连接 $CE$ ， $BP$ 与 $CE$ 的数量关系是　　， $CE$ 与 $AD$ 的位置关系是　　；

（2）当点 $E$ 在菱形 $ABCD$ 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；

（3）如图4，当点 $P$ 在线段 $BD$ 的延长线上时，连接 $BE$ ，若 $AB = 2 \sqrt{3}$ ， $BE = 2 \sqrt{19}$ ，求四边形 $ADPE$ 的面积．

某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元 $/$ 千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量 $y$ （千克）与销售单价 $x$ （元 $/$ 千克）之间的函数关系如图所示．

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

（2）当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．

如图，在 $ΔABC$ 中， $O$ 为 $AC$ 上一点，以点 $O$ 为圆心， $OC$ 为半径做圆，与 $BC$ 相切于点 $C$ ，过点 $A$ 作 $AD ⊥ BO$ 交 $BO$ 的延长线于点 $D$ ，且 $∠ AOD = ∠ BAD$ ．

（1）求证： $AB$ 为 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BC = 6$ ， $\tan ∠ ABC = \frac{4}{3}$ ，求 $AD$ 的长．