已知圆：，直线的方程为，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，-优题课

题文

已知圆：，直线的方程为，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点为、．
（1）当的横坐标为时，求∠的大小；
（2）求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求出该定点的坐标；
（3）求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标；
（4）求线段长度的最小值．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：圆的方程的应用

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已知函数 $f (x) = (\cos x - x) (π + 2 x) - \frac{8}{3} (\sin x + 1)$ ， $g (x) = 3 x \cos x - 4 (1 + \sin x) \ln (3 - \frac{2 x}{π})$ .证明：

（1）存在唯一 $x_{0} \in (0, \frac{π}{2})$ ，使 $f (x_{0}) = 0$ ；
（2）存在唯一 $x_{1} \in (\frac{π}{2}, π)$ ，使 $g (x_{1}) = 0$ ，且对（1）中的 $x_{0} + x_{1} < π$ .

圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的切线与 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 $P$ （如图），双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $P$ 且离心率为 $\sqrt{3}$ .
（1）求 $C_{1}$ 的方程；
（2）椭圆 $C_{2}$ 过点P且与 $C_{1}$ 有相同的焦点，直线 $l$ 过 $C_{2}$ 的右焦点且与 $C_{2}$ 交于 $A, B$ 两点，若以线段 $A B$ 为直径的圆心过点 $P$ ，求 $l$ 的方程.

如图， $∆ A B C$ 和 $∆ B C D$ 所在平面互相垂直，且 $A B = B C = B D = 2$ ， $∠ A B C = ∠ D B C = 120^{°}$ ， $E, F$ 分别为 $A C, D C$ 的中点.
（1）求证： $E F ⊥ B C$ ；
（2）求二面角 $E - B F - C$ 的正弦值.

一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
（2）用 $X$ 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望 $E (X)$ 及方差 $D (X)$ .

在 $∆ A B C$ 中,内角 $A, B, C$ 的对边 $a, b, c$ ,且 $a > c$ ,已知 $\overset{⇀}{B A} \cdot \overset{⇀}{B C} = 2, c o s B = \frac{1}{3}, b = 3$ ,求：
（1） $a$ 和 $c$ 的值；
（2） $\cos (B - C)$ 的值.

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