(8分)如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以2为半径作圆-优题课

题文

(8分)如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以2为半径作圆，交轴于两点，开口向下的抛物线经过点，且其顶点在⊙C上．

（1）求的大小；
（2）写出A、B两点的坐标；
（3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在一点，使线段与互相平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

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求和: $S = \sqrt{1 + \frac{4}{1^{2}} + \frac{4}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{4}{2^{2}} + \frac{4}{4^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{4}{3^{2}} + \frac{4}{5^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{4}{4^{2}} + \frac{4}{6^{2}}} + \dots + \sqrt{1 + \frac{4}{10^{2}} + \frac{4}{12^{2}}}$ .

$x = \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} ， y = \frac{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}} ， n$ 为自然数，如果 $2 x^{2} + 225 xy + 2 y^{2} = 2021$ 成立，求 $n$ 的值.

若 $m = \frac{2021}{\sqrt{2022} - 1}$ ，求 $m^{5} - 2 m^{4} - 2021 m^{3}$ 的值.

先化简再求值: $(\frac{a - 2}{a^{2} + 2 a} - \frac{a - 1}{a^{2} + 4 a + 4}) \div \frac{a - 4}{a + 2}$ ，其中 $a = \sqrt{2} - 1$ .

化简: $\sqrt{37 + 20 \sqrt{3}} + \sqrt{37 - 20 \sqrt{3}}$ .

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