（本题8分）某中学九(1)班同学积极响应阳光体育工程的号召，-优题课

计算： $(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}) + \tan 60 ° - {(π - 2 \sqrt{3})}^{0}$ ．

如图1，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的交点 $A (- 3, 0)$ 和 $B (1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）连接 $AD$ ， $DC$ ， $CB$ ，将 $ΔOBC$ 沿 $x$ 轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△ $O^{'} B^{'} C^{'}$ ，点 $O$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应点分别为点 $O^{'}$ 、 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ ，设平移时间为 $t$ 秒，当点 $O^{'}$ 与点 $A$ 重合时停止移动．记△ $O^{'} B^{'} C^{'}$ 与四边形 $AOCD$ 重合部分的面积为 $S$ ，请直接写出 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

（3）如图2，过该抛物线上任意一点 $M (m, n)$ 向直线 $l : y = \frac{9}{2}$ 作垂线，垂足为 $E$ ，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点 $F$ ，使得 $ME - MF = \frac{1}{4}$ ？若存在，请求出 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点 $E$ 、 $A$ 、 $D$ 在同一条直线上），发现 $BE = DG$ 且 $BE ⊥ DG$ ．

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形 $AEFG$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转（如图 $1)$ ，还能得到 $BE = DG$ 吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；

（2）把背景中的正方形分别改成菱形 $AEFG$ 和菱形 $ABCD$ ，将菱形 $AEFG$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转（如图 $2)$ ，试问当 $∠ EAG$ 与 $∠ BAD$ 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论 $BE = DG$ 仍成立？请说明理由；

（3）把背景中的正方形分别改写成矩形 $AEFG$ 和矩形 $ABCD$ ，且 $\frac{AE}{AG} = \frac{AB}{AD} = \frac{2}{3}$ ， $AE = 4$ ， $AB = 8$ ，将矩形 $AEFG$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转（如图 $3)$ ，连接 $DE$ ， $BG$ ．小组发现：在旋转过程中， $D E^{2} + B G^{2}$ 的值是定值，请求出这个定值．

端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．

（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？

（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上， $AD$ 与过点 $C$ 的切线互相垂直，垂足为 $D$ ．连接 $BC$ 并延长，交 $AD$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $AE = AB$ ；

（2）若 $AB = 10$ ， $BC = 6$ ，求 $CD$ 的长．