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计算(Ⅰ)(Ⅱ)

科目 数学   题型 解答题   难度 较易
知识点: 原根与指数
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已知函数 f x = ln x + k e x 为常数, e =2.71828…是自然对数的底数),曲线 y = f x 在点 1 , f 1 处的切线与 x 轴平行.
(Ⅰ)求 k 的值;
(Ⅱ)求 f x 的单调区间;
(Ⅲ)设 g x = x f x ,其中 f ` x f x 的导函数.证明:对任意 x > 0 , g x < 1 + e - 2 .

如图,椭圆 M : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的离心率为 3 2 ,直线 x = ± a y = ± b 所围成的矩形 A B C D 的面积为8.
image.png

(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程;
(Ⅱ) 设直线 l : y = x + m m R 与椭圆 M 有两个不同的交点 P , Q , L 与矩形 A B C D 有两个不同的交点 S , T .求 P Q S T 的最大值及取得最大值时 m 的值.

已知等差数列 a n 的前5项和为105,且 a 10 = 2 a 5 .
(Ⅰ)求数列 a n 的通项公式;
(Ⅱ)对任意 m N * ,将数列 a n 中不大于 7 2 m 的项的个数记为 b m .求数列 b m 的前 m 项和 S m .

如图,几何体 E - A B C D 是四棱锥, A B D 为正三角形, C B = C D , E C B D .
image.png

(Ⅰ)求证: B E = D E
(Ⅱ)若 B C D = 120 ° , M 为线段 A E 的中点,求证: D M 平面 B E C .

袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.

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