计算（Ⅰ）（Ⅱ）-优题课

计算（Ⅰ）（Ⅱ）

科目数学题型解答题难度较易

知识点：原根与指数

已知函数 $f (x) = \frac{\ln x + k}{e^{x}}$ 为常数， $e$ =2.71828…是自然对数的底数)，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行.
(Ⅰ)求 $k$ 的值；
(Ⅱ)求 $f (x)$ 的单调区间；
(Ⅲ)设 $g (x) = x f (x)$ ，其中 $f^{`} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.证明：对任意 $x > 0, g (x) < 1 + e^{- 2}$ .

如图，椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $x = \pm a$ 和 $y = \pm b$ 所围成的矩形 $A B C D$ 的面积为8.

(Ⅰ)求椭圆 $M$ 的标准方程；
(Ⅱ) 设直线 $l : y = x + m (m \in R)$ 与椭圆 $M$ 有两个不同的交点 $P, Q, L$ 与矩形 $A B C D$ 有两个不同的交点 $S, T$ .求 $\frac{|P Q|}{|S T|}$ 的最大值及取得最大值时 $m$ 的值.

已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前5项和为105，且 $a_{10} = 2 a_{5}$ .
(Ⅰ)求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
(Ⅱ)对任意 $m \in N^{*}$ ，将数列 $\{a_{n}\}$ 中不大于 $7^{2 m}$ 的项的个数记为 $b_{m}$ .求数列 $\{b_{m}\}$ 的前 $m$ 项和 $S_{m}$ .

如图,几何体 $E - A B C D$ 是四棱锥, $∆ A B D$ 为正三角形, $C B = C D, E C ⊥ B D$ .

(Ⅰ)求证: $B E = D E$ ；
(Ⅱ)若 $∠ B C D = 120^{°}$ , $M$ 为线段 $A E$ 的中点,求证: $D M ∥$ 平面 $B E C$ .

袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.

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