..(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分6分.
已知椭圆上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为
,
。
(1)求椭圆的方程;
(2)如果直线与椭圆相交于
,若
,证明直线
与直线
的交点
必在一条确定的双曲线上;
(3)过点作直线
(与
轴不垂直)与椭圆交于
两点,与
轴交于点
,若
,
,证明:
为定值。
(本小题满分12分)
已知椭圆的右焦点
,且
,设短轴的一个端点为
,原点
到直线
的距离为
,过原点和
轴不重合的直线与椭圆
相交于
两点,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在过点的直线
与椭圆
相交于不同的两点
,且使得
成立?若存在,试求出直线
的方程;若不存在,请说明理由
(本小题满分12分)
如图所示,在直棱柱中,
,
,
的中点.
(1)求证:∥
;
(2)求证:;
(3)在上是否存在一点
,使得
,若存在,试确定
的位置,并判断
与平面
是否垂直?若不存在,请说明理由.
(本小题满分12分)
已知数列的前
项和为
,满足
.
(1)求证:数列为等比数列;
(2)若数列满足
,
为数列
的前
项和,求证:
.
(本小题满分12分)
已知函数.
(1)判断函数在定义域上的单调性;
(2)利用题(1)的结论,,求使不等式在
上恒成立时的实数
的取值范围?
(本小题满分10分)
已知向量,函数
.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)在中,
分别是角
的对边,
且
,求
面积
的最大值.