如图，在△ABC中，已知ABBCCA4cm，AD⊥BC于D.-优题课

定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．

（1）下面四边形是垂等四边形的是　　；（填序号）

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形

（2）图形判定：如图1，在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ， $AC ⊥ BD$ ，过点 $D$ 作 $BD$ 垂线交 $BC$ 的延长线于点 $E$ ，且 $∠ DBC = 45 °$ ，证明：四边形 $ABCD$ 是垂等四边形．

（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ 中， $∠ BCD = 60 °$ ．求 $⊙ O$ 的半径．

如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树 $A$ 点处测得古树顶端 $D$ 的仰角为 $30 °$ ，然后向古树底端 $C$ 步行20米到达点 $B$ 处，测得古树顶端 $D$ 的仰角为 $45 °$ ，且点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在同一直线上，求古树 $CD$ 的高度．（已知： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果保留整数）

为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是" $A$ ．书画类、 $B$ ．文艺类、 $C$ ．社会实践类、 $D$ ．体育类"．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：

（1）本次被抽查的学生共有　　名，扇形统计图中" $A$ ．书画类"所占扇形的圆心角的度数为　　度；

（2）请你将条形统计图补全；

（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择" $C$ ．社会实践类"的学生共有多少名？

（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．

先化简，再求值： $(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x + 2}{x^{2} - 1}$ ，然后从 $- 1$ ，0，1中选择适当的数代入求值．

如图1，平面直角坐标系 $xOy$ 中，等腰 $ΔABC$ 的底边 $BC$ 在 $x$ 轴上， $BC = 8$ ，顶点 $A$ 在 $y$ 的正半轴上， $OA = 2$ ，一动点 $E$ 从 $(3, 0)$ 出发，以每秒1个单位的速度沿 $CB$ 向左运动，到达 $OB$ 的中点停止．另一动点 $F$ 从点 $C$ 出发，以相同的速度沿 $CB$ 向左运动，到达点 $O$ 停止．已知点 $E$ 、 $F$ 同时出发，以 $EF$ 为边作正方形 $EFGH$ ，使正方形 $EFGH$ 和 $ΔABC$ 在 $BC$ 的同侧，设运动的时间为 $t$ 秒 $(t ⩾ 0)$ ．

（1）当点 $H$ 落在 $AC$ 边上时，求 $t$ 的值；

（2）设正方形 $EFGH$ 与 $ΔABC$ 重叠面积为 $S$ ，请问是否存在 $t$ 值，使得 $S = \frac{91}{36}$ ？若存在，求出 $t$ 值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，取 $AC$ 的中点 $D$ ，连结 $OD$ ，当点 $E$ 、 $F$ 开始运动时，点 $M$ 从点 $O$ 出发，以每秒 $2 \sqrt{5}$ 个单位的速度沿 $OD - DC - CD - DO$ 运动，到达点 $O$ 停止运动．请问在点 $E$ 的整个运动过程中，点 $M$ 可能在正方形 $EFGH$ 内（含边界）吗？如果可能，求出点 $M$ 在正方形 $EFGH$ 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．