解方程：x28x10.-优题课

已知方程组 $\{\begin{matrix} 2 x + y = 7 \\ x = y - 1 \end{matrix}$ 的解也是关于 $x$ 、 $y$ 的方程 $ax + y = 4$ 的一个解，求 $a$ 的值．

计算或化简：

（1） ${(- \frac{1}{3})}^{0} + | \sqrt{3} - 3 | + \tan 60 °$ ．

（2） $(a + b) \div (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ ．

学习了图形的旋转之后，小明知道，将点 $P$ 绕着某定点 $A$ 顺时针旋转一定的角度 $α$ ，能得到一个新的点 $P'$ ，经过进一步探究，小明发现，当上述点 $P$ 在某函数图象上运动时，点 $P'$ 也随之运动，并且点 $P'$ 的运动轨迹能形成一个新的图形．

试根据下列各题中所给的定点 $A$ 的坐标、角度 $α$ 的大小来解决相关问题．

【初步感知】

如图1，设 $A (1, 1)$ ， $α = 90 °$ ，点 $P$ 是一次函数 $y = kx + b$ 图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点 $P_{1} (- 1, 1)$ ．

（1）点 $P_{1}$ 旋转后，得到的点 $P_{1}'$ 的坐标为　 $(1, 3)$ 　；

（2）若点 $P'$ 的运动轨迹经过点 $P_{2}' (2, 1)$ ，求原一次函数的表达式．

【深入感悟】

如图2，设 $A (0, 0)$ ， $α = 45 °$ ，点 $P$ 是反比例函数 $y = - \frac{1}{x} (x < 0)$ 的图象上的动点，过点 $P'$ 作二、四象限角平分线的垂线，垂足为 $M$ ，求 $ΔOMP'$ 的面积．

【灵活运用】

如图3，设 $A (1, - \sqrt{3})$ ， $α = 60 °$ ，点 $P$ 是二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \sqrt{3} x + 7$ 图象上的动点，已知点 $B (2, 0)$ 、 $C (3, 0)$ ，试探究 $ΔBCP'$ 的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．

为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到图表：

该地区每周接种疫苗人数统计表

周次	第1周	第2周	第3周	第4周	第5周	第6周	第7周	第8周
接种人数（万人）	7	10	12	18	25	29	37	42

根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点 $(3, 12)$ 、 $(8, 42)$ 作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为 $y = 6 x - 6)$ ，那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势．

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）这八周中每周接种人数的平均数为　　万人；该地区的总人口约为　　万人；

（2）若从第9周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势．

①估计第9周的接种人数约为　　万人；

②专家表示：疫苗接种率至少达 $60 %$ ，才能实现全民免疫．那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？

（3）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少 $a (a > 0)$ 万人，为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在20万人．如果 $a = 1.8$ ，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？

某种落地灯如图1所示， $AB$ 为立杆，其高为 $84 cm$ ； $BC$ 为支杆，它可绕点 $B$ 旋转，其中 $BC$ 长为 $54 cm$ ； $DE$ 为悬杆，滑动悬杆可调节 $CD$ 的长度．支杆 $BC$ 与悬杆 $DE$ 之间的夹角 $∠ BCD$ 为 $60 °$ ．

（1）如图2，当支杆 $BC$ 与地面垂直，且 $CD$ 的长为 $50 cm$ 时，求灯泡悬挂点 $D$ 距离地面的高度；

（2）在图2所示的状态下，将支杆 $BC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $20 °$ ，同时调节 $CD$ 的长（如图 $3)$ ，此时测得灯泡悬挂点 $D$ 到地面的距离为 $90 cm$ ，求 $CD$ 的长．（结果精确到 $1 cm$ ，参考数据： $\sin 20 ° \approx 0.34$ ， $\cos 20 ° \approx 0.94$ ， $\tan 20 ° \approx 0.36$ ， $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84)$