已知一元二次方程x2－4x＋30的两根是m，n且m＜n.如图-优题课

已知一元二次方程x²－4x＋3=0的两根是m，n且m＜n.如图12，若抛物线y=-x²+bx
+c的图像经过点A（m，0）、B（0，n）.
求抛物线的解析式.
若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图像回答，当x取何值时，抛物线的图像在直线BC的上方？
点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交与点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

如图，在菱形 $ABCD$ 中，将对角线 $AC$ 分别向两端延长到点 $E$ 和 $F$ ，使得 $AE = CF$ ．连接 $DE$ ， $DF$ ， $BE$ ， $BF$ ．

求证：四边形 $BEDF$ 是菱形．

解方程： $\frac{x}{x - 1} = \frac{4}{x^{2} - 1} + 1$ ．

已知 $D$ 是 $Rt Δ ABC$ 斜边 $AB$ 的中点， $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ ABC = 30 °$ ，过点 $D$ 作 $Rt Δ DEF$ 使 $∠ DEF = 90 °$ ， $∠ DFE = 30 °$ ，连接 $CE$ 并延长 $CE$ 到 $P$ ，使 $EP = CE$ ，连接 $BE$ ， $FP$ ， $BP$ ，设 $BC$ 与 $DE$ 交于 $M$ ， $PB$ 与 $EF$ 交于 $N$ ．

（1）如图1，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 共线时，求证：

① $EB = EP$ ；

② $∠ EFP = 30 °$ ；

（2）如图2，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 不共线时，连接 $BF$ ，求证： $∠ BFD + ∠ EFP = 30 °$ ．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2}$ 过点 $A (- 3, \frac{9}{4})$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知直线 $l$ 过点 $A$ ， $M (\frac{3}{2}$ ， $0)$ 且与抛物线交于另一点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，求证： $M C^{2} = MA \cdot MB$ ；

（3）若点 $P$ ， $D$ 分别是抛物线与直线 $l$ 上的动点，以 $OC$ 为一边且顶点为 $O$ ， $C$ ， $P$ ， $D$ 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的 $P$ 点坐标．

如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上的一点， $D$ 是 $AB$ 上的一点， $DE ⊥ AB$ 于 $D$ ， $DE$ 交 $BC$ 于 $F$ ，且 $EF = EC$ ．

（1）求证： $EC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BD = 4$ ， $BC = 8$ ，圆的半径 $OB = 5$ ，求切线 $EC$ 的长．

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