（本小题满分12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级-优题课

题文

（本小题满分12分）
某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X	1	2	3	4	5
频率	a	0.2	0.4	b	c

（I）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；
(Ⅱ)在（I）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x₁，x₂，x₃，等级系数为5的2件日用品记为y₁，y₂，现从x₁，x₂，x₃，y₁，y₂这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

科目数学题型解答题难度未知

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某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为"南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异"；
（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.

在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边 $a, b, c$ ，且，已知 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 2$ ， $\cos B = \frac{1}{3}, b = 3$ ，求：
（1） $a$ 和 $c$ 的值；
（2） $\cos (B - C)$ 的值.

已知函数 $f (x) = x \cos x - \sin x + 1 (x > 0)$ .
（1）求 $f (x)$ 的单调区间；
（2）记 $x_{i}$ 为 $f (x)$ 的从小到大的第 $i (i \in N^{*})$ 个零点，证明：对一切 $n \in N^{*}$ ，有 $\frac{1}{{x^{2}}_{1}} + \frac{1}{{x^{2}}_{2}} + \dots + \frac{1}{{x^{2}}_{n}^{}} < \frac{2}{3}$ .

如图5， $O$ 为坐标原点，双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{{a_{1}}^{2}} - \frac{y^{2}}{{b_{1}}^{2}} = 1 (a_{1} > 0, b_{1} > 0)$ 和椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{{a_{1}}^{2}} + \frac{y^{2}}{{b_{2}}^{2}} = 1 (a_{2} > b_{2} > 0)$ 均过点 $P (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, 1)$ ，且以 $C_{1}$ 的两个顶点和 $C_{2}$ 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求 $C_{1}, C_{2}$ 的方程；
(2)是否存在直线 $l$ ，使得 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 只有一个公共点，且 $|\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B}| = |\overset{⇀}{A B}|$ ？证明你的结论.

如图,在平面四边形 $A B C D$ 中, $D A ⊥ A B, D E = 1, E C = \sqrt{7}, E A = 2, ∠ A D C = \frac{2 π}{3}, ∠ B E C = \frac{π}{3}$ .

(1)求 $\sin ∠ C E D$ 的值；
(2)求 $B E$ 的长

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