先化简，再求值：，选一个你喜欢的实数x代入求值.-优题课

如图，已知二次函数 $y = x^{2} + ax + 3$ 的图象经过点 $P (- 2, 3)$ ．

（1）求 $a$ 的值和图象的顶点坐标．

（2）点 $Q (m, n)$ 在该二次函数图象上．

①当 $m = 2$ 时，求 $n$ 的值；

②若点 $Q$ 到 $y$ 轴的距离小于2，请根据图象直接写出 $n$ 的取值范围．

今年5月15日，亚洲文明对话大会在北京开幕．为了增进学生对亚洲文化的了解，某学校开展了相关知识的宣传教育活动．为了解这次宣传活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取100名学生进行知识测试（测试满分100分，得分均为整数），并根据这100人的测试成绩，制作了如下统计图表．

100名学生知识测试成绩的频数表

由图表中给出的信息回答下列问题：

（1） $m =$ 　　，并补全频数直方图；

（2）小明在这次测试中成绩为85分，你认为85分一定是这100名学生知识测试成绩的中位数吗？请简要说明理由；

（3）如果80分以上（包括80分）为优秀，请估计全校1200名学生中成绩优秀的人数．

图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：

（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．

（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．

（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）

先化简，再求值： $(x - 2) (x + 2) - x (x - 1)$ ，其中 $x = 3$ ．

如图，在等腰 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AB = 14 \sqrt{2}$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $AB$ ， $BC$ 上，将线段 $ED$ 绕点 $E$ 按逆时针方向旋转 $90 °$ 得到 $EF$ ．

（1）如图1，若 $AD = BD$ ，点 $E$ 与点 $C$ 重合， $AF$ 与 $DC$ 相交于点 $O$ ．求证： $BD = 2 DO$ ．

（2）已知点 $G$ 为 $AF$ 的中点．

①如图2，若 $AD = BD$ ， $CE = 2$ ，求 $DG$ 的长．

②若 $AD = 6 BD$ ，是否存在点 $E$ ，使得 $ΔDEG$ 是直角三角形？若存在，求 $CE$ 的长；若不存在，试说明理由．