已知椭圆经过点（0，），离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F-优题课

题文

已知椭圆经过点（0，），离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

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某校夏令营有3名男同学 $A, B, C$ 和3名女同学 $X, Y, Z$ ，其年级情况如下表：

	一年级	二年级	三年级
男同学	$A$	$B$	$C$
女同学	$X$	$Y$	$Z$

(1)现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）用表中字母列举出所有可能的结果
(2)设 $M$ 为事件"选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学"，求事件 $M$ 发生的概率.

设函数 $f (x) = |x + \frac{1}{a}| + |x - a| (a > 0)$

（1）证明： $f (x) \geq 2$ ；
（2）若 $f (3) < 5$ ，求 $a$ 的取值范围．

在直角坐标系 $x O y$ 中,以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ, θ \in [0, \frac{π}{2}]$ ．
（1）求 $C$ 得参数方程；
（2）设点 $D$ 在 $C$ 上, $C$ 在 $D$ 处的切线与直线 $l : y = \sqrt{3} x + 2$ 垂直,根据（1）中你得到的参数方程,确定 $D$ 的坐标．

如图， $P$ 是 $圆 O$ 外一点， $P A$ 是切线， $A$ 为切点，割线 $P B C$ 与 $圆 O$ 相交于 $B, C$ ， $P C = 2 P A$ ， $D$ 为 $P C$ 的中点， $A D$ 的延长线交 $圆 O$ 于点 $E$ ．证明：
（1） $B E = E C$ ；
（2） $A D \cdot D E = 2 P B^{2}$

已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + a x + 2$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, 2)$ 处的切线与轴交点的横坐标为 $- 2$ ．
（1）求 $a$ ；
（2）证明：当 $k < 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = k x - 2$ 只有一个交点．

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