如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐-优题课

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0）、（12，6），直线y＝－x＋b与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．
若直线y＝－x＋b平分矩形OABC的面积，求b的值；
在（1）的条件下，当直线y＝－x＋b绕点P顺时针旋转时，与直线BC和x轴分别交于点N、M，问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长；若不存在，请说明理由；
在（1）的条件下，将矩形OABC沿DE折叠，若点O落在边BC上，求出该点坐标；若不在边BC上，求将（1）中的直线沿y轴怎样平移，使矩形OABC沿平移后的直线折叠，点O恰好落在边BC上

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质计算器—基础知识

计算： ${(- 1)}^{2019} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} + | \sqrt{3} - 2 | + 3 \tan 30 °$ ．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ ，点 $B (- 3, 0)$ ，且 $OB = OC$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 在抛物线上，且 $∠ POB = ∠ ACB$ ，求点 $P$ 的坐标；

（3）抛物线上两点 $M$ ， $N$ ，点 $M$ 的横坐标为 $m$ ，点 $N$ 的横坐标为 $m + 4$ ．点 $D$ 是抛物线上 $M$ ， $N$ 之间的动点，过点 $D$ 作 $y$ 轴的平行线交 $MN$ 于点 $E$ ．

①求 $DE$ 的最大值；

②点 $D$ 关于点 $E$ 的对称点为 $F$ ，当 $m$ 为何值时，四边形 $MDNF$ 为矩形．

如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是 $AB$ 边上一点，以 $DE$ 为边作正方形 $DEFG$ ， $DF$ 与 $BC$ 交于点 $M$ ，延长 $EM$ 交 $GF$ 于点 $H$ ， $EF$ 与 $CB$ 交于点 $N$ ，连接 $CG$ ．

（1）求证： $CD ⊥ CG$ ；

（2）若 $\tan ∠ MEN = \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{MN}{EM}$ 的值；

（3）已知正方形 $ABCD$ 的边长为1，点 $E$ 在运动过程中， $EM$ 的长能否为 $\frac{1}{2}$ ？请说明理由．

在“我为祖国点赞“征文活动中，学校计划对获得一，二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．

（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？

（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？

如图，在 $ΔABC$ 中，以 $AC$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $D$ ，连接 $CD$ ， $∠ BCD = ∠ A$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BC = 5$ ， $BD = 3$ ，求点 $O$ 到 $CD$ 的距离．

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