解方程组-优题课

一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字1、 $- 2$ 、3，搅匀后先从中任意摸出一个小球（不放回），记下数字作为点 $A$ 的横坐标，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记下数字作为点 $A$ 的纵坐标．

（1）用画树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；

（2）求点 $A$ 落在第四象限的概率．

某学校为了解学生上学的交通方式，现从全校学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查，规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

请解答下列问题：

（1）在这次调查中，该学校一共抽样调查了　　名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）若该学校共有1500名学生，试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数．

已知：如图， $▱ ABCD$ 的对角线 $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 的直线分别与 $AD$ 、 $BC$ 相交于点 $E$ 、 $F$ ．求证： $AE = CF$ ．

如图，二次函数 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + bx + 2$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 的坐标为 $(- 4, 0)$ ， $P$ 是抛物线上一点（点 $P$ 与点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 不重合）．

（1） $b =$ 　　，点 $B$ 的坐标是　　；

（2）设直线 $PB$ 与直线 $AC$ 相交于点 $M$ ，是否存在这样的点 $P$ ，使得 $PM : MB = 1 : 2$ ？若存在，求出点 $P$ 的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接 $AC$ 、 $BC$ ，判断 $∠ CAB$ 和 $∠ CBA$ 的数量关系，并说明理由．

（1）如图1，已知 $EK$ 垂直平分 $BC$ ，垂足为 $D$ ， $AB$ 与 $EK$ 相交于点 $F$ ，连接 $CF$ ．求证： $∠ AFE = ∠ CFD$ ．

（2）如图2，在 $Rt Δ GMN$ 中， $∠ M = 90 °$ ， $P$ 为 $MN$ 的中点．

①用直尺和圆规在 $GN$ 边上求作点 $Q$ ，使得 $∠ GQM = ∠ PQN$ （保留作图痕迹，不要求写作法）；

②在①的条件下，如果 $∠ G = 60 °$ ，那么 $Q$ 是 $GN$ 的中点吗？为什么？