（Ⅰ）化简；（Ⅱ）已知，求的值。-优题课

已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b (a, b \in R)$ .
（1）试讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $b = c - a$ （实数 $c$ 是 $a$ 与无关的常数），当函数 $f (x)$ 有三个不同的零点时， $a$ 的取值范围恰好是 $(- \infty, - 3) \cup (1, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$ ，求 $c$ 的值.

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且右焦点 $F$ 到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过 $F$ 的直线与椭圆交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线分别交直线 $l$ 和 $A B$ 于点 $P, C$ ，若 $P C = 2 A B$ ，求直线 $A B$ 的方程.

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 $l_{1}, l_{2}$ ，山区边界曲线为 $C$ ，计划修建的公路为l，如图所示， $M$ ， $N$ 为 $C$ 的两个端点，测得点 $M$ 到 $l_{1}, l_{2}$ 的距离分别为5千米和40千米，点 $N$ 到 $l_{1,} l_{2}$ 的距离分别为20千米和2.5千米，以 $l_{1}, l_{2}$ 所在的直线分别为 $x$ ， $y$ 轴，建立平面直角坐标系 $x o y$ ，假设曲线 $C$ 符合函数 $y = \frac{a}{x^{2} + b}$ （其中 $a$ ， $b$ 为常数）模型.

（1）求 $a$ ， $b$ 的值；
（2）设公路l与曲线 $C$ 相切于 $P$ 点， $P$ 的横坐标为 $t$ .
①请写出公路l长度的函数解析式 $f (t)$ ，并写出其定义域；
②当 $t$ 为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

如图,在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中,已知 $A C ⊥ B C, B C = C C_{1}$ ,设 $A B_{1}$ 的中点为 $D$ , $B_{1} C \cap B C_{1} = E$ .

求证:

（1） $D E ∥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$

（2） $B C_{1} ⊥ A B_{1}$ .

在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2, A C = 3, A = 60^{°}$ .
（1）求 $B C$ 的长；
（2）求 $\sin 2 C$ 的值.