（本小题满分8分）四边形ABCD中，∠A，∠D．（1）如图1-优题课

（本小题满分8分）
四边形ABCD中，∠A =，∠D =．

（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且，试求出∠C的度数；
（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

解方程：

（1） $x^{2} + x - 1 = 0$ ；

（2） $\{\begin{matrix} - 2 x ⩽ 0 \\ 4 x + 1 < 5 \end{matrix}$ ．

计算：

（1） ${(- 2)}^{2} + | - 5 | - \sqrt{16}$ ；

（2） $\frac{a - 1}{a - b} - \frac{1 + b}{b - a}$ ．

如图，二次函数 $y_{1} = a {(x - m)}^{2} + n$ ， $y_{2} = 6 a x^{2} + n (a < 0$ ， $m > 0$ ， $n > 0)$ 的图象分别为 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ ， $C_{1}$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，点 $A$ 在 $C_{1}$ 上，且位于 $y$ 轴右侧，直线 $PA$ 与 $C_{2}$ 在 $y$ 轴左侧的交点为 $B$ ．

（1）若 $P$ 点的坐标为 $(0, 2)$ ， $C_{1}$ 的顶点坐标为 $(2, 4)$ ，求 $a$ 的值；

（2）设直线 $PA$ 与 $y$ 轴所夹的角为 $α$ ．

①当 $α = 45 °$ ，且 $A$ 为 $C_{1}$ 的顶点时，求 $am$ 的值；

②若 $α = 90 °$ ，试说明：当 $a$ 、 $m$ 、 $n$ 各自取不同的值时， $\frac{PA}{PB}$ 的值不变；

（3）若 $PA = 2 PB$ ，试判断点 $A$ 是否为 $C_{1}$ 的顶点？请说明理由．

如图，正方形 $ABCD$ 的边长为6， $M$ 为 $AB$ 的中点， $ΔMBE$ 为等边三角形，过点 $E$ 作 $ME$ 的垂线分别与边 $AD$ 、 $BC$ 相交于点 $F$ 、 $G$ ，点 $P$ 、 $Q$ 分别在线段 $EF$ 、 $BC$ 上运动，且满足 $∠ PMQ = 60 °$ ，连接 $PQ$ ．

（1）求证： $ΔMEP ≅ ΔMBQ$ ．

（2）当点 $Q$ 在线段 $GC$ 上时，试判断 $PF + GQ$ 的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．

（3）设 $∠ QMB = α$ ，点 $B$ 关于 $QM$ 的对称点为 $B^{'}$ ，若点 $B^{'}$ 落在 $ΔMPQ$ 的内部，试写出 $α$ 的范围，并说明理由．

如图，在 $⊙ O$ 中，点 $P$ 为 $\hat{AB}$ 的中点，弦 $AD$ 、 $PC$ 互相垂直，垂足为 $M$ ， $BC$ 分别与 $AD$ 、 $PD$ 相交于点 $E$ 、 $N$ ，连接 $BD$ 、 $MN$ ．

（1）求证： $N$ 为 $BE$ 的中点．

（2）若 $⊙ O$ 的半径为8， $\hat{AB}$ 的度数为 $90 °$ ，求线段 $MN$ 的长．

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