如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A-优题课

如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A
点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点G。
（1）求直线AC的解析式；
（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等
腰三角形。直接写出所有满足条件的M点的坐标；
（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，
线段EG的长度是否发生改变，请说明理由。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

计算：

（1） $| - \frac{1}{2} | - {(- 2)}^{3} + \sin 30 °$ ；

（2） $\frac{4}{a} - \frac{a + 8}{2 a}$ ．

如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．连接 $AC$ ， $BC$ ，点 $P$ 在抛物线上运动．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图①，若点 $P$ 在第四象限，点 $Q$ 在 $PA$ 的延长线上，当 $∠ CAQ = ∠ CBA + 45 °$ 时，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图②，若点 $P$ 在第一象限，直线 $AP$ 交 $BC$ 于点 $F$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交 $BC$ 于点 $H$ ，当 $ΔPFH$ 为等腰三角形时，求线段 $PH$ 的长．

已知正方形 $ABCD$ 与正方形 $AEFG$ ，正方形 $AEFG$ 绕点 $A$ 旋转一周．

（1）如图①，连接 $BG$ 、 $CF$ ，求 $\frac{CF}{BG}$ 的值；

（2）当正方形 $AEFG$ 旋转至图②位置时，连接 $CF$ 、 $BE$ ，分别取 $CF$ 、 $BE$ 的中点 $M$ 、 $N$ ，连接 $MN$ 、试探究： $MN$ 与 $BE$ 的关系，并说明理由；

（3）连接 $BE$ 、 $BF$ ，分别取 $BE$ 、 $BF$ 的中点 $N$ 、 $Q$ ，连接 $QN$ ， $AE = 6$ ，请直接写出线段 $QN$ 扫过的面积．

一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离 $s (km)$ 与慢车行驶的时间 $t (h)$ 之间的关系如图：

（1）快车的速度为　　 $km / h$ ， $C$ 点的坐标为　　．

（2）慢车出发多少小时后，两车相距 $200 km$ ．

如图，在 $Rt Δ AOB$ 中， $∠ AOB = 90 °$ ，以点 $O$ 为圆心， $OA$ 为半径的圆交 $AB$ 于点 $C$ ，点 $D$ 在边 $OB$ 上，且 $CD = BD$ ．

（1）判断直线 $CD$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）已知 $\tan ∠ ODC = \frac{24}{7}$ ， $AB = 40$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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