（本小题满分8分）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与-优题课

阅读下列材料并回答问题：

材料1：如果一个三角形的三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，那么三角形的面积为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ． ①

古希腊几何学家海伦 $(Heron$ ，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．

我国南宋数学家秦九韶（约 $1202 - -$ 约 $1261)$ ，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ． ②

下面我们对公式②进行变形： $\sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]} = \sqrt{{(\frac{1}{2} ab)}^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4})}^{2}} = \sqrt{(\frac{1}{2} ab + \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}) (\frac{1}{2} ab - \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4})} = \sqrt{\frac{2 ab + a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4} \cdot \frac{2 ab - a^{2} - b^{2} + c^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{{(a + b)}^{2} - c^{2}}{4} \cdot \frac{c^{2} - {(a - b)}^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{a + b + c}{2} \cdot \frac{a + b - c}{2} \cdot \frac{a + c - b}{2} \cdot \frac{b + c - a}{2}} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．

这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦 $- -$ 秦九韶公式．

问题：如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = 13$ ， $BC = 12$ ， $AC = 7$ ， $⊙ O$ 内切于 $ΔABC$ ，切点分别是 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ．

（1）求 $ΔABC$ 的面积；

（2）求 $⊙ O$ 的半径．

在创建“全国文明城市”和“省级文明城区”过程中，栾城区污水处理厂决定先购买 $A$ 、 $B$ 两型污水处理设备共20台，对城区周边污水进行处理．已知每台 $A$ 型设备价格为12万元，每台 $B$ 型设备价格为10万元；1台 $A$ 型设备和2台 $B$ 型设备每周可以处理污水640吨，2台 $A$ 型设备和3台 $B$ 型设备每周可以处理污水1080吨．

（1）求 $A$ 、 $B$ 两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？

（2）要想使污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，但每周处理污水的量又不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？

如图，在边长为1的正方形网格中， $ΔABC$ 的顶点均在格点上，点 $A$ 、 $B$ 的坐标分别是 $A (4, 3)$ 、 $B (4, 1)$ ，把 $ΔABC$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90 °$ 后得到△ $A_{1} B_{1} C$ ．

（1）画出△ $A_{1} B_{1} C$ ，直接写出点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 的坐标；

（2）求在旋转过程中， $ΔABC$ 所扫过的面积．

为了切实关注、关爱贫困家庭学生，某校对全校各班贫困家庭学生的人数情况进行了统计，以便国家精准扶贫政策有效落实．统计发现班上贫困家庭学生人数分别有2名、3名、4名、5名、6名，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图：

（1）求该校一共有多少个班？并将条形图补充完整；

（2）某爱心人士决定从2名贫困家庭学生的这些班级中，任选两名进行帮扶，请用列表法或树状图的方法，求出被选中的两名学生来自同一班级的概率．

如图， $▱ ABCD$ 的对角线 $AC$ 、 $BD$ 交于点 $O$ ， $EF$ 过点 $O$ 且与 $BC$ 、 $AD$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ．试猜想线段 $AE$ 、 $CF$ 的关系，并说明理由．