-优题课

有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．

（1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果；

（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰贏；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？

某鞋店在一周内销售某款女鞋，尺码（单位： $cm)$ 数据收集如下：

24	23.5	21.5	23.5	24.5	23	22	23.5	23.5	23	22.5	23.5	23.5	22.5	24
24	22.5	25	23	23	23.5	23	22.5	23	23.5	23.5	23	24	22	22.5

绘制如图不完整的频数分布表及频数分布直方图：

（1）请补全频数分布表和频数分布直方图；

（2）若店主要进货，她最应该关注的是尺码的众数，上面数据的众数为　　；

（3）若店主下周对该款女鞋进货120双，尺码在 $23.5 ⩽ x < 25.5$ 范围的鞋应购进约多少双？

如图， $AC$ 是 $∠ BAE$ 的平分线，点 $D$ 是线段 $AC$ 上的一点， $∠ C = ∠ E$ ， $AB = AD$ ．求证： $BC = DE$ ．

计算： $1^{2021} - \sqrt[3]{8} + {(π - 3.14)}^{0} - {(- \frac{1}{5})}^{- 1}$ ．

在平面直角坐标系中，二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (- 2, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，点 $P$ 是第四象限内抛物线上的一个动点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图甲，连接 $AC$ ， $PA$ ， $PC$ ，若 $S_{ΔPAC} = \frac{15}{2}$ ，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图乙，过 $A$ ， $B$ ， $P$ 三点作 $⊙ M$ ，过点 $P$ 作 $PE ⊥ x$ 轴，垂足为 $D$ ，交 $⊙ M$ 于点 $E$ ．点 $P$ 在运动过程中线段 $DE$ 的长是否变化，若有变化，求出 $DE$ 的取值范围；若不变，求 $DE$ 的长．