某教研机构准备举行一次高中数学新课程研讨会，拟邀请50名使用不同版本的一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示
(I)从这50名教师中随机选出2名教师发言，求第一位发言的教师所使用版本是北大师大版的概率；
(II)设使用北师大版的5名教师中有3名男教师，2名女教师，若随机选出2名用北师大版的教师发言，求抽到男教师个数的分布列和期望.
(12分)古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有
个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在
柱上，现要将套在柱上的盘换到
柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子
可供使用.
现用
表示将
个圆盘全部从
柱上移到柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
(1)写出
并求出
(2)记
求和
(其中
表示所有的积
的和)
(3)证明：
(12分)如图，斜率为
1的直线过抛物线
的焦点，与抛物线交于两点
将
直线
按向量
平移到
直线
为
上的动点.(1)若
求抛物线的方程；
(2)求
的最小值.
(12分)已知函数
(1)求函数的单调区间；(2)
为何值时，方程
有三个不同的实根.
(13分)正项数列
的前
项和为
且
(1)试求数列的通项公式；(2)设
求数列
的前项和
(13分)已知向量
设函数
若
的最小正周期为
(1)求
的值；(2)求的单调区间.