-优题课

计算：

（1） $| - 6 | + {(- 2)}^{3} + {(\sqrt{7})}^{0}$ ；

（2） $(a + b) (a - b) - a (a - b)$

在平面直角坐标系中，已知 $A (1, 4)$ 、 $B (4, 1)$ 、 $C (m, 0)$ 、 $D (0, n)$ ．

（1）四边形 $ABCD$ 的周长的最小值为　　，此时四边形 $ABCD$ 的形状为　　；

（2）在（1）的情况下， $P$ 为 $AB$ 的中点， $E$ 为 $AD$ 上一动点，连接 $PE$ ，作 $PF ⊥ PE$ 交四边形的边于点 $F$ ，在点 $E$ 从 $D$ 运动到 $A$ 的过程中：

①求 $\tan ∠ PEF$ 的值；

②若 $EF$ 的中点为 $Q$ ，在整个运动过程中，请直接写出点 $Q$ 所经过的路线长．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (5, 0)$ ，以原点 $O$ 为圆心、3为半径作圆． $P$ 从点 $O$ 出发，以每秒1个单位的速度沿 $y$ 轴正半轴运动，运动时间为 $t (s)$ ．连接 $AP$ ，将 $ΔOAP$ 沿 $AP$ 翻折，得到 $ΔAPQ$ ．求 $ΔAPQ$ 有一边所在直线与 $⊙ O$ 相切时 $t$ 的值．

某品牌牛奶专营店销售一款牛奶，售价是在进价的基础上加价 $a %$ 出售，每月的销售额可以达到9.6万元，但每月需支出2.45万元的固定费用及进价的 $2.5 %$ 的其他费用．

（1）如果该款牛奶每月所获的利润要达到1万元，那么 $a$ 的值是多少？（利润 $=$ 售价 $-$ 进价 $-$ 固定费用 $-$ 其他费用）

（2）现这款牛奶的售价为64元 $/$ 盒，根据市场调查，这款牛奶如果售价每降低 $1 %$ ，销售量将上升 $8 %$ ，求这款牛奶调价销售后，每月可获的最大利润．

如图， $P$ 是平面直角坐标系中第四象限内一点，过点 $P$ 作 $PA ⊥ x$ 轴于点 $A$ ，以 $AP$ 为斜边在右侧作等腰 $Rt Δ APQ$ ，已知直角顶点 $Q$ 的纵坐标为 $- 2$ ，连接 $OQ$ 交 $AP$ 于 $B$ ， $BQ = 2 OB$ ．

（1）求点 $P$ 的坐标；

（2）连接 $OP$ ，求 $ΔOPQ$ 的面积与 $ΔOAQ$ 的面积之比．