如图，已知∠ABC63°，∠ECB117°，∠P∠Q．（1）-优题课

先化简，再求值： $(\frac{2}{m} - \frac{1}{n}) \div (\frac{m^{2} + n^{2}}{mn} - \frac{5 n}{m}) \cdot (\frac{m}{2 n} + \frac{2 n}{m} + 2)$ ，其中 $\sqrt{m + 1} + {(n - 3)}^{2} = 0$ ．

如图①，抛物线 $y = - \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{2} x + 4$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ， $C$ ，将直线 $AB$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ ，所得直线与 $x$ 轴交于点 $D$ ．

（1）求直线 $AD$ 的函数解析式；

（2）如图②，若点 $P$ 是直线 $AD$ 上方抛物线上的一个动点

①当点 $P$ 到直线 $AD$ 的距离最大时，求点 $P$ 的坐标和最大距离；

②当点 $P$ 到直线 $AD$ 的距离为 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ 时，求 $\sin ∠ PAD$ 的值．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 分别与 $BC$ ， $AC$ 交于点 $D$ ， $E$ ，过点 $D$ 作 $DF ⊥ AC$ ，垂足为点 $F$ ．

（1）求证：直线 $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $B C^{2} = 4 CF \cdot AC$ ；

（3）若 $⊙ O$ 的半径为4， $∠ CDF = 15 °$ ，求阴影部分的面积．

如图，矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在边 $CD$ 上，将 $ΔBCE$ 沿 $BE$ 折叠，点 $C$ 落在 $AD$ 边上的点 $F$ 处，过点 $F$ 作 $FG / / CD$ 交 $BE$ 于点 $G$ ，连接 $CG$ ．

（1）求证：四边形 $CEFG$ 是菱形；

（2）若 $AB = 6$ ， $AD = 10$ ，求四边形 $CEFG$ 的面积．

某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．

请根据图中信息，解决下列问题：

（1）两个班共有女生多少人？

（2）将频数分布直方图补充完整；

（3）求扇形统计图中 $E$ 部分所对应的扇形圆心角度数；

（4）身高在 $170 ⩽ x < 175 (cm)$ 的5人中，甲班有3人，乙班有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率．