如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进-优题课

如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步（如由A到C）；当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到）．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．求：
（Ⅰ）需要四次投掷，点P恰返回到A点的概率；
（Ⅱ）点P恰好返回到A点的概率．

科目数学题型解答题难度容易

知识点：概率及其性质

设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，且 $d > 1$ ．令 $b_{n} = \frac{n^{2} + n}{a_{n}}$ ，记 $S_{n}$ ， $T_{n}$ 分别为数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．

（1）若 $3 a_{2} = 3 a_{1} + a_{3}$ ， $S_{3} + T_{3} = 21$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

（2）若 $\{b_{n}\}$ 为等差数列，且 $S_{99} - T_{99} = 99$ ，求 $d$ ．

已知函数 $f (x) = a (e^{x} + a) - x$ ．

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) > 2 \ln a + \frac{3}{2}$ ．

如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ．点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 上， $A A_{2} = 1$ ， $B B_{2} = D D_{2} = 2$ ， $C C_{2} = 3$ ．

（1）证明： $B_{2} C_{2} ∥ A_{2} D_{2}$ ；

（2）点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，当二面角 $P - A_{2} C_{2} - D_{2}$ 为 $150 °$ 时，求 $B_{2} P$ ．

已知在 $△ A B C$ 中， $A + B = 3 C$ ， $2 \sin (A - C) = \sin B$ ．

（1）求 $\sin A$ ；

（2）设 $A B = 5$ ，求 $A B$ 边上的高．

[选修4-5：不等式选讲]

已知 $f (x) = 2 |x| + |x - 2|$ ．

（1）求不等式 $f (x) \leq 6 - x$ 的解集；

（2）在直角坐标系 $x O y$ 中，求不等式组 $\{\begin{cases} f (x) \leq y \\ x + y - 6 \leq 0 \end{cases}$ 所确定的平面区域的面积．

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