在5.12大地震灾民安置工作中，某企业接到一批生产甲种板材2-优题课

在“5.12大地震”灾民安置工作中，某企业接到一批生产甲种板材24000和乙种板材12000的任务．（1）已知该企业安排140人生产这两种板材，每人每天能生产甲种板材30或乙种板材20．问：应分别安排多少人生产甲种板材和乙种板材，才能确保他们用相同的时间完成各自的生产任务？
（2）某灾民安置点计划用该企业生产的这批板材搭建两种型号的板房共400间，在搭建过程中，按实际需要调运这两种板材．已知建一间型板房和一间型板房所需板材及能安置的人数如下表所示：

板房型号	甲种板材	乙种板材	安置人数
型板房	54	26	5
型板房	78	41	8

问：这400间板房最多能安置多少灾民？

科目数学题型解答题难度中等

先化简，再求值： $\frac{x}{x^{2} - 1} \div (1 + \frac{1}{x - 1})$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ ．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 2, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于点 $C$ ，且 $OC = 2 OA$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $E$ ．直线 $y = mx + n$ 经过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）求抛物线及直线 $BC$ 的函数表达式；

（2）点 $F$ 是抛物线对称轴上一点，当 $FA + FC$ 的值最小时，求出点 $F$ 的坐标及 $FA + FC$ 的最小值；

（3）连接 $AC$ ，若点 $P$ 是抛物线上对称轴右侧一点，点 $Q$ 是直线 $BC$ 上一点，试探究是否存在以点 $E$ 为直角顶点的 $Rt Δ PEQ$ ，且满足 $\tan ∠ EQP = \tan ∠ OCA$ ．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

有公共顶点 $A$ 的正方形 $ABCD$ 与正方形 $AEGF$ 按如图1所示放置，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $AB$ 和 $AD$ 上，连接 $BF$ ， $DE$ ， $M$ 是 $BF$ 的中点，连接 $AM$ 交 $DE$ 于点 $N$ ．

【观察猜想】

（1）线段 $DE$ 与 $AM$ 之间的数量关系是　　，位置关系是　　；

【探究证明】

（2）将图1中的正方形 $AEGF$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45 °$ ，点 $G$ 恰好落在边 $AB$ 上，如图2，其他条件不变，线段 $DE$ 与 $AM$ 之间的关系是否仍然成立？并说明理由．

如图，已知 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．

①作 $∠ BAC$ 的角平分线 $AD$ ，交 $BC$ 于点 $D$ ；

②作线段 $AD$ 的垂直平分线 $EF$ 与 $AB$ 相交于点 $O$ ；

③以点 $O$ 为圆心，以 $OD$ 长为半径画圆，交边 $AB$ 于点 $M$ ．

（2）在（1）的条件下，求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（3）若 $AM = 4 BM$ ， $AC = 10$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．

（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？