已知：如下图，△ABC是等边三角形，D为AC上任一点，∠AB-优题课

如图， $AE / / BF$ ， $BD$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AE$ 于点 $D$ ，点 $C$ 在 $BF$ 上且 $BC = AB$ ，连接 $CD$ ．求证：四边形 $ABCD$ 是菱形．

先化简，再求值： $(\frac{m^{2} - 9}{m^{2} - 6 m + 9} - \frac{3}{m - 3}) \div \frac{m^{2}}{m - 3}$ ，其中 $m = \sqrt{2}$ ．

如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左边），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．直线 $y = \frac{1}{2} x - 2$ 经过 $B$ 、 $C$ 两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 是抛物线上的一动点，过点 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与直线 $BC$ 及 $x$ 轴分别交于点 $D$ 、 $M$ ． $PN ⊥ BC$ ，垂足为 $N$ ．设 $M (m, 0)$ ．

①点 $P$ 在抛物线上运动，若 $P$ 、 $D$ 、 $M$ 三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的 $m$ 的值；

②当点 $P$ 在直线 $BC$ 下方的抛物线上运动时，是否存在一点 $P$ ，使 $ΔPNC$ 与 $ΔAOC$ 相似．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量 $y$ （件 $)$ 与售价 $x$ （元件） $(x$ 为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：

$x$ （元 $/$ 件）	4	5	6
$y$ （件 $)$	10000	9500	9000

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元 $/$ 件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？

（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元 $/$ 件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠 $m$ 元 $(1 ⩽ m ⩽ 6)$ ，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出 $m$ 的取值范围．

如图所示： $⊙ O$ 与 $ΔABC$ 的边 $BC$ 相切于点 $C$ ，与 $AC$ 、 $AB$ 分别交于点 $D$ 、 $E$ ， $DE / / OB$ ． $DC$ 是 $⊙ O$ 的直径．连接 $OE$ ，过 $C$ 作 $CG / / OE$ 交 $⊙ O$ 于 $G$ ，连接 $DG$ 、 $EC$ ， $DG$ 与 $EC$ 交于点 $F$ ．

（1）求证：直线 $AB$ 与 $⊙ O$ 相切；

（2）求证： $AE \cdot ED = AC \cdot EF$ ；

（3）若 $EF = 3$ ， $\tan ∠ ACE = \frac{1}{2}$ 时，过 $A$ 作 $AN / / CE$ 交 $⊙ O$ 于 $M$ 、 $N$ 两点 $(M$ 在线段 $AN$ 上），求 $AN$ 的长．