阅读下列材料，按要求解答问题：如图2－1，在ΔABC中，∠A-优题课

阅读下列材料，按要求解答问题：
如图2－1，在ΔABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°．小明通过以下计算：由题意，∠B＝30°，∠C＝90°，c＝2b，a＝b，得a²－b²＝(b)²－b²＝2b²＝b·c．即a²－b²＝ bc．

于是，小明猜测：对于任意的ΔABC，当∠A＝2∠B时，关系式a²－b²＝bc都成立．
（1）如图2－2，请你用以上小明的方法，对等腰直角三角形进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程；
（2）如图2－3，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说明理由；
（3）若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A＝2∠B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

计算或化简：

（1） $2 \sin 60 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - \sqrt{12}$ ．

（2） $\frac{x - 1}{x} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x}$ ．

二次函数 $y = a x^{2} + bx + 3$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (2, 0)$ ， $B (6, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $E$ ．．

（1）求这个二次函数的表达式，并写出点 $E$ 的坐标；

（2）如图①， $D$ 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当 $BD$ 的垂直平分线恰好经过点 $C$ 时，求点 $D$ 的坐标；

（3）如图②， $P$ 是该二次函数图象上的一个动点，连接 $OP$ ，取 $OP$ 中点 $Q$ ，连接 $QC$ ， $QE$ ， $CE$ ，当 $ΔCEQ$ 的面积为12时，求点 $P$ 的坐标．

【感知】如图①，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ C = ∠ D = 90 °$ ，点 $E$ 在边 $CD$ 上， $∠ AEB = 90 °$ ，求证： $\frac{AE}{EB} = \frac{DE}{CB}$ ．

【探究】如图②，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ C = ∠ ADC = 90 °$ ，点 $E$ 在边 $CD$ 上，点 $F$ 在边 $AD$ 的延长线上， $∠ FEG = ∠ AEB = 90 °$ ，且 $\frac{EF}{EG} = \frac{AE}{EB}$ ，连接 $BG$ 交 $CD$ 于点 $H$ ．

求证： $BH = GH$ ．

【拓展】如图③，点 $E$ 在四边形 $ABCD$ 内， $∠ AEB$ 十 $∠ DEC = 180 °$ ，且 $\frac{AE}{EB} = \frac{DE}{EC}$ ，过 $E$ 作 $EF$ 交 $AD$ 于点 $F$ ，若 $∠ EFA = ∠ AEB$ ，延长 $FE$ 交 $BC$ 于点 $G$ ．求证： $BG = CG$ ．

某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量 $y$ （千克）与销售单价 $x$ （元 $/$ 千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：

销售单价 $x$ （元 $/$ 千克）	55	60	65	70
销售量 $y$ （千克）	70	60	50	40

（1）求 $y$ （千克）与 $x$ （元 $/$ 千克）之间的函数表达式；

（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

如图，在 $ΔABC$ 中， $D$ 是边 $BC$ 上一点，以 $BD$ 为直径的 $⊙ O$ 经过点 $A$ ，且 $∠ CAD = ∠ ABC$ ．

（1）请判断直线 $AC$ 是否是 $⊙ O$ 的切线，并说明理由；

（2）若 $CD = 2$ ， $CA = 4$ ，求弦 $AB$ 的长．