解方程2x2―3x―50-优题课

在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成部分统计图表如下：

类别	家庭藏书 $m$ 本	学生人数
$A$	$0 ⩽ m ⩽ 25$	20
$B$	$26 ⩽ m ⩽ 100$	$a$
$C$	$101 ⩽ m ⩽ 200$	50
$D$	$m ⩾ 201$	66

根据以上信息，解答下列问题：

（1）该调查的样本容量为　　， $a =$ 　　；

（2）在扇形统计图中，“ $A$ ”对应扇形的圆心角为　　 $°$ ；

（3）若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书200本以上的人数．

不透明的袋中装有1个红球与2个白球，这些球除颜色外都相同，将其搅匀．

（1）从中摸出1个球，恰为红球的概率等于　 $\frac{1}{3}$ 　；

（2）从中同时摸出2个球，摸到红球的概率是多少？（用画树状图或列表的方法写出分析过程）

已知：如图，一次函数 $y = kx - 1$ 的图象经过点 $A (3 \sqrt{5}$ ， $m) (m > 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．点 $C$ 在线段 $AB$ 上，且 $BC = 2 AC$ ，过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $D$ ．若 $AC = CD$ ．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下、以直线 $CD$ 为对称轴的抛物线经过点 $A$ ，它的顶点为 $P$ ，若过点 $P$ 且垂直于 $AP$ 的直线与 $x$ 轴的交点为 $Q (- \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ， $0)$ ，求这条抛物线的函数表达式．

如图，矩形 $ABCD$ 中， $AB = m$ ， $BC = n$ ，将此矩形绕点 $B$ 顺时针方向旋转 $θ (0 ° < θ < 90 °)$ 得到矩形 $A_{1} B C_{1} D_{1}$ ，点 $A_{1}$ 在边 $CD$ 上．

（1）若 $m = 2$ ， $n = 1$ ，求在旋转过程中，点 $D$ 到点 $D_{1}$ 所经过路径的长度；

（2）将矩形 $A_{1} B C_{1} D_{1}$ 继续绕点 $B$ 顺时针方向旋转得到矩形 $A_{2} B C_{2} D_{2}$ ，点 $D_{2}$ 在 $BC$ 的延长线上，设边 $A_{2} B$ 与 $CD$ 交于点 $E$ ，若 $\frac{A_{1} E}{EC} = \sqrt{6} - 1$ ，求 $\frac{n}{m}$ 的值．

如图，平面直角坐标系中，已知点 $B$ 的坐标为 $(6, 4)$ ．

（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线 $AC$ ，它与 $x$ 轴和 $y$ 轴的正半轴分别交于点 $A$ 和点 $C$ ，且使 $∠ ABC = 90 °$ ， $ΔABC$ 与 $ΔAOC$ 的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹． $)$

（2）问：（1）中这样的直线 $AC$ 是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线 $AC$ ，并写出与之对应的函数表达式．