如果一个多边形的内角都相等且每个内角与其外角之比8∶1，求多-优题课

先化简，再求值： $\frac{m - 3}{m - 2} \div {(m + 2 - \frac{5}{m - 2})}^{}$ ，其中 $m = {(\frac{1}{3})}^{- 1} + {(2 - π)}^{0} + \sqrt{8} - | - 7 |$ ．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = 3 x^{2} + bx + c$ 过点 $A (0, - 2)$ ， $B (2, 0)$ ，点 $C$ 为第二象限抛物线上一点，连接 $AB$ ， $AC$ ， $BC$ ，其中 $AC$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，且 $\tan ∠ OBC = 2$ ．

（1）求点 $C$ 坐标；

（2）点 $P (m, 0)$ 为线段 $BE$ 上一动点 $(P$ 不与 $B$ ， $E$ 重合），过点 $P$ 作平行于 $y$ 轴的直线 $l$ 与 $ΔABC$ 的边分别交于 $M$ ， $N$ 两点，将 $ΔBMN$ 沿直线 $MN$ 翻折得到△ $B' MN$ ，设四边形 $B' NBM$ 的面积为 $S$ ，在点 $P$ 移动过程中，求 $S$ 与 $m$ 的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若 $S = 3 S_{ΔACB'}$ ，请写出所有满足条件的 $m$ 值．

如图， $ΔABC$ 和 $ΔDEF$ 都是等腰直角三角形， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 90 °$ ， $DE = DF$ ， $∠ EDF = 90 °$ ， $D$ 为 $BC$ 边中点，连接 $AF$ ，且 $A$ 、 $F$ 、 $E$ 三点恰好在一条直线上， $EF$ 交 $BC$ 于点 $H$ ，连接 $BF$ ， $CE$ ．

（1）求证： $AF = CE$ ；

（2）猜想 $CE$ ， $BF$ ， $BC$ 之间的数量关系，并证明；

（3）若 $CH = 2$ ， $AH = 4$ ，请写出线段 $AC$ ， $AE$ 的长．

某商家正在热销一种商品，其成本为30元 $/$ 件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元 $/$ 件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量 $y$ （件 $)$ 与售价 $x$ （元 $/$ 件）满足如图所示的函数关系（其中 $40 ⩽ x ⩽ 70$ ，且 $x$ 为整数）．

（1）写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 直径，点 $C$ ， $D$ 为 $⊙ O$ 上的两点，且 $\hat{AD} = \hat{CD}$ ，连接 $AC$ ， $BD$ 交于点 $E$ ， $⊙ O$ 的切线 $AF$ 与 $BD$ 延长线相交于点 $F$ ， $A$ 为切点．

（1）求证： $AF = AE$ ；

（2）若 $AB = 8$ ， $BC = 2$ ，求 $AF$ 的长．