如图，点C、D在线段AB上，E、F在AB同侧，DE与CF相交-优题课

如图1， $ΔAOB$ 的三个顶点 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 分别落在抛物线 $F_{1} : y = \frac{1}{3} x^{2} + \frac{7}{3} x$ 的图象上，点 $A$ 的横坐标为 $- 4$ ，点 $B$ 的纵坐标为 $- 2$ ．（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧）

（1）求点 $A$ 、 $B$ 的坐标；

（2）将 $ΔAOB$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到△ $A^{'} O B^{'}$ ，抛物线 $F_{2} : y = a x^{2} + bx + 4$ 经过 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 两点，已知点 $M$ 为抛物线 $F_{2}$ 的对称轴上一定点，且点 $A^{'}$ 恰好在以 $OM$ 为直径的圆上，连接 $OM$ 、 $A^{'} M$ ，求△ $O A^{'} M$ 的面积；

（3）如图2，延长 $O B^{'}$ 交抛物线 $F_{2}$ 于点 $C$ ，连接 $A^{'} C$ ，在坐标轴上是否存在点 $D$ ，使得以 $A$ 、 $O$ 、 $D$ 为顶点的三角形与△ $O A^{'} C$ 相似．若存在，请求出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

操作体验：如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $AD$ 、 $BC$ 上，将矩形 $ABCD$ 沿直线 $EF$ 折叠，使点 $D$ 恰好与点 $B$ 重合，点 $C$ 落在点 $C'$ 处．点 $P$ 为直线 $EF$ 上一动点（不与 $E$ 、 $F$ 重合），过点 $P$ 分别作直线 $BE$ 、 $BF$ 的垂线，垂足分别为点 $M$ 和 $N$ ，以 $PM$ 、 $PN$ 为邻边构造平行四边形 $PMQN$ ．

（1）如图1，求证： $BE = BF$ ；

（2）特例感知：如图2，若 $DE = 5$ ， $CF = 2$ ，当点 $P$ 在线段 $EF$ 上运动时，求平行四边形 $PMQN$ 的周长；

（3）类比探究：若 $DE = a$ ， $CF = b$ ．

①如图3，当点 $P$ 在线段 $EF$ 的延长线上运动时，试用含 $a$ 、 $b$ 的式子表示 $QM$ 与 $QN$ 之间的数量关系，并证明；

②如图4，当点 $P$ 在线段 $FE$ 的延长线上运动时，请直接用含 $a$ 、 $b$ 的式子表示 $QM$ 与 $QN$ 之间的数量关系．（不要求写证明过程）

慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高 $CD$ 为1.7米，他站在 $D$ 处测得塔顶的仰角 $∠ ACG$ 为 $45 °$ ，小琴的目高 $EF$ 为1.5米，她站在距离塔底中心 $B$ 点 $a$ 米远的 $F$ 处，测得塔顶的仰角 $∠ AEH$ 为 $62.3 °$ ．（点 $D$ 、 $B$ 、 $F$ 在同一水平线上，参考数据： $\sin 62.3 ° \approx 0.89$ ， $\cos 62.3 ° \approx 0.46$ ， $\tan 62.3 ° \approx 1.9)$

（1）求小亮与塔底中心的距离 $BD$ ；（用含 $a$ 的式子表示）

（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度 $AB$ ．

为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．

分数段	频数	频率
$74.5 ~ 79.5$	2	0.05
$79.5 ~ 84.5$	$m$	0.2
$84.5 ~ 89.5$	12	0.3
$89.5 ~ 94.5$	14	$n$
$94.5 ~ 99.5$	4	0.1

（1）表中 $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）请在图中补全频数直方图；

（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在　　分数段内；

（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．

岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．

（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？

（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的 $\frac{1}{3}$ ，求休闲小广场总面积最多为多少亩？