计算．画出函数yx21的图象已知：如图，E，F分别是□ABC-优题课

如图，直线 $y = x + b$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k$ 为常数， $k \neq 0)$ 在第一象限内交于点 $A (1, 2)$ ，且与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $B$ ， $C$ 两点．

（1）求直线和双曲线的解析式；

（2）点 $P$ 在 $x$ 轴上，且 $ΔBCP$ 的面积等于2，求 $P$ 点的坐标．

求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．

已知：如图，在 $▱ ABCD$ 中，对角线 $AC$ ， $BD$ 交于点 $O$ ，　　．

求证：　　．

已知点 $O$ 是正方形 $ABCD$ 对角线 $BD$ 的中点．

（1）如图1，若点 $E$ 是 $OD$ 的中点，点 $F$ 是 $AB$ 上一点，且使得 $∠ CEF = 90 °$ ，过点 $E$ 作 $ME / / AD$ ，交 $AB$ 于点 $M$ ，交 $CD$ 于点 $N$ ．求证：

① $∠ AEM = ∠ FEM$ ； ②点 $F$ 是 $AB$ 的中点；

（2）如图2，若点 $E$ 是 $OD$ 上一点，点 $F$ 是 $AB$ 上一点，且使 $\frac{DE}{DO} = \frac{AF}{AB} = \frac{1}{3}$ ，请判断 $ΔEFC$ 的形状，并说明理由；

（3）如图3，若 $E$ 是 $OD$ 上的动点（不与 $O$ ， $D$ 重合），连接 $CE$ ，过 $E$ 点作 $EF ⊥ CE$ ，交 $AB$ 于点 $F$ ，当 $\frac{DE}{DB} = \frac{m}{n}$ 时，请猜想 $\frac{AF}{AB}$ 的值（请直接写出结论）．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + 1$ 经过 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 1)$ 两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）阅读理解：

在同一平面直角坐标系中，直线 $l_{1} : y = k_{1} x + b_{1} (k_{1}$ ， $b_{1}$ 为常数，且 $k_{1} \neq 0)$ ，直线 $l_{2} : y = k_{2} x + b_{2} (k_{2}$ ， $b_{2}$ 为常数，且 $k_{2} \neq 0)$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $k_{1} \cdot k_{2} = - 1$ ．

解决问题：

①若直线 $y = 3 x - 1$ 与直线 $y = mx + 2$ 互相垂直，求 $m$ 的值；

②抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $ΔPAB$ 是以 $AB$ 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） $M$ 是抛物线上一动点，且在直线 $AB$ 的上方（不与 $A$ ， $B$ 重合），求点 $M$ 到直线 $AB$ 的距离的最大值．

如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，过 $O$ 点作 $OP ⊥ AB$ ，交弦 $AC$ 于点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，且使 $∠ PCA = ∠ ABC$ ．

（1）求证： $PC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ P = 60 °$ ， $PC = 2$ ，求 $PE$ 的长．