已知 $a$为正实数, $n$为自然数,抛物线 $y=-x^2+\frac{a_n}{2}$与 $x$轴正半轴相交于点 $A$,设 $f\left(n\right)$为该抛物线在点 $A$处的切线在 $y$轴上的截距.
（1）用 $a$和 $n$表示 $f\left(n\right)$；
（2）求对所有 $n$都有 $\frac{f\left(n\right)-1}{f\left(n\right)+1}\ge \frac{n^3}{n^3+1}$成立的 $a$的最小值；
（3）当 $0<a<1$时,比较 $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{1}{f\left(k\right)-f\left(2k\right)}$与 $\frac{27}{4}·\frac{f\left(1\right)-f\left(n\right)}{f\left(0\right)-f\left(1\right)}$的大小,并说明理由.

科目 数学   题型 解答题   难度 较难