设函数。（1）求函数的极大值；（2）若时，恒有成立（其中是函-优题课

设函数。
（1）求函数的极大值；
（2）若时，恒有成立（其中是函数的导函数），试确定实数的取值范围。

科目数学题型解答题难度中等

已知 $\cos (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{10}, x \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$ .
（Ⅰ）求 $\sin x$ 的值；
（Ⅱ）求 $\sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的值.

已知中心在原点的双曲线 $C$ 的一个焦点是 $F_{1} (- 3, 0)$ ,一条渐近线的方程是 $\sqrt{5} x - 2 y = 0$ .
(Ⅰ)求双曲线 $C$ 的方程；
(Ⅱ)若以 $k (k \neq 0)$ 为斜率的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于两个不同的点 $M, N$ ,线段 $M N$ 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{81}{2}$ ,求 $k$ 的取值范围.

已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ， $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ， $n = 1, 2 . . .$ ．
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的 $x > 0$ ， $a_{n} \geq \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{(1 + x)^{2}} (\frac{2}{3^{n}} - x), n = 1, 2 . . .$ ;
（Ⅲ）证明： $a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n} > \frac{n^{2}}{n + 1}$ ．

已知函数 $f (x) = \frac{k x + 1}{x^{2} + c}$ （ $c > 0$ 且 $c \neq 1, k \in R$ ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是 $x = - c$ ．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的极大值 $M$ 和极小值 $m$ ，并求 $M - m \geq 1$ 时 $k$ 的取值范围．

已知抛物线 $C$ ： $y = 2 x^{2}$ ，直线 $y = k x + 2$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点， $M$ 是线段 $A B$ 的中点，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于点 $N$ ．
（Ⅰ）证明：抛物线 $C$ 在点 $N$ 处的切线与 $A B$ 平行；
（Ⅱ）是否存在实数 $k$ 使 $\overset{⇀}{N A} \cdot \overset{⇀}{N B} = 0$ ,求 $k$ 的值；若不存在，说明理由．

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