李明投资销售一种进价为20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月-优题课

李明投资销售一种进价为20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=－10x＋500．
⑴设李明每月获得利润为W(元)，当销售单价定为多少元时，每月获得利润最大？⑵如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
⑶根据物价部门规定，这种护眼台灯不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）

科目数学题型解答题难度困难

知识点：二次函数在给定区间上的最值一次函数的最值

先化简，再求值： $\frac{a + 1}{a^{2} - 2 a + 1} \div (2 + \frac{3 - a}{a - 1})$ ，其中 $a = 2$ ．

计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} - 2 \cos 30 ° + | - \sqrt{3} | - {(4 - π)}^{0}$ ．

平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $G : y = a x^{2} + bx + c (0 < a < 12)$ 过点 $A (1, c - 5 a)$ ， $B (x_{1}$ ， $3)$ ， $C (x_{2}$ ， $3)$ ．顶点 $D$ 不在第一象限，线段 $BC$ 上有一点 $E$ ，设 $ΔOBE$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔOCE$ 的面积为 $S_{2}$ ， $S_{1} = S_{2} + \frac{3}{2}$ ．

（1）用含 $a$ 的式子表示 $b$ ；

（2）求点 $E$ 的坐标：

（3）若直线 $DE$ 与抛物线 $G$ 的另一个交点 $F$ 的横坐标为 $\frac{6}{a} + 3$ ，求 $y = a x^{2} + bx + c$ 在 $1 < x < 6$ 时的取值范围（用含 $a$ 的式子表示）．

如图， $⊙ O$ 为等边 $ΔABC$ 的外接圆，半径为2，点 $D$ 在劣弧 $\hat{AB}$ 上运动（不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $DA$ ， $DB$ ， $DC$ ．

（1）求证： $DC$ 是 $∠ ADB$ 的平分线；

（2）四边形 $ADBC$ 的面积 $S$ 是线段 $DC$ 的长 $x$ 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；

（3）若点 $M$ ， $N$ 分别在线段 $CA$ ， $CB$ 上运动（不含端点），经过探究发现，点 $D$ 运动到每一个确定的位置， $ΔDMN$ 的周长有最小值 $t$ ，随着点 $D$ 的运动， $t$ 的值会发生变化，求所有 $t$ 值中的最大值．

如图， $ΔABD$ 中， $∠ ABD = ∠ ADB$ ．

（1）作点 $A$ 关于 $BD$ 的对称点 $C$ ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）所作的图中，连接 $BC$ ， $DC$ ，连接 $AC$ ，交 $BD$ 于点 $O$ ．

①求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；

②取 $BC$ 的中点 $E$ ，连接 $OE$ ，若 $OE = \frac{13}{2}$ ， $BD = 10$ ，求点 $E$ 到 $AD$ 的距离．

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