已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点.（Ⅰ）-优题课

题文

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存过点（2,1）的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

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已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ，其中 $a > 0$ .
（1）若对一切 $x \in R, f (x) \geq 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值集合；
（2)在函数 $f (x)$ 的图像上去定点 $A (x_{1}, f (x_{1})), B (x_{2}, f (x_{2})) (x_{1} < x_{2})$ ，记直线 $A B$ 的斜率为 $k$ ，证明：存在 $x_{0} \in (x_{1}, x_{2})$ ,使 $f ` (x_{0}) = k$ 恒成立.

在直角坐标系 $x O y$ 中，已知中心在原点，离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆 $E$ 的一个焦点为圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 = 0$ 的圆心.
（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程；
（Ⅱ）设 $P$ 是椭圆 $E$ 上一点，过 $P$ 作两条斜率之积为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l_{1} : l_{2}$ .当直线 $l_{1} : l_{2}$ 都与圆 $C$ 相切时，求 $P$ 的坐标.

某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为 $a_{n}$ 万元.
（Ⅰ）用d表示 $a_{1}, a_{2}$ ，并写出 $a_{n + 1}$ 与 $a_{n}$ 的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过 $m (m \geq 3)$ ）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.

如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥ 平面 A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A D / / B C$ ， $A C ⊥ B D$ .

（Ⅰ）证明： $B D ⊥ P C$ ；
（Ⅱ）若 $A D = 4$ ， $B C = 2$ ，直线 $P D$ 与平面 $P A C$ 所成的角为30°，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (x \in R, ω > 0, 0 < ω < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示.

（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（Ⅱ）求函数 $g (x) = f (x - \frac{12}{π}) - f (x + \frac{π}{12})$ 的单调递增区间.

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