2012年4月5日下午，重庆一中初2013级智力快车比赛的决-优题课

2012年4月5日下午，重庆一中初2013级“智力快车”比赛的决赛在渝北校区正式进行．“智力快车”活动是我校综合实践课程的传统版块，已有多年历史，比赛试题的内容涉及到文史艺哲科技等多个方面．随着时代的变化，其活动项目也在不断更新．今年的比赛除了继承传统的“快速判断”、“猜猜看”、“英语平台”、“风险提速”四个环节外，特新增了“动手动脑”一项．比赛结束后，一综合实践小组成员就新增环节的满意程度，对现场的观众进行了抽样调查，给予评分，其中：非常满意——5分，满意——4分，一般——3分，有待改进——2分，并将调查结果制作成了如下的两幅不完整的统计图：

（1）本次共调查了名同学，本次调查同学评分的平均得分为分；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果评价为“一般”的只有一名是男生，评价为“有待改进”的只有一名是女生，
针对“动手动脑”环节的情况，综合实践小组的成员分别从评价为“一般”和评价
为“有待改进”的两组中，分别随机选出一名同学谈谈意见和建议，请你用列表或画树状图的方法求出所选两名同学刚好都是女生的概率．

科目数学题型解答题难度中等

京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长 $1462 km$ ，是我国最繁忙的铁路干线之一．如果从北京到上海的客车速度是货车速度的2倍，客车比货车少用 $6 h$ ，那么货车的速度是多少？（精确到 $0.1 km / h)$

4张相同的卡片分别写着数字 $- 1$ 、 $- 3$ 、4、6，将卡片的背面朝上，并洗匀．

（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率是　　；

（2）从中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数 $y = kx + b$ 中的 $k$ ；再从余下的卡片中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数 $y = kx + b$ 中的 $b$ ．利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率．

江苏省第十九届运动会将于2018年9月在扬州举行开幕式，某校为了了解学生“最喜爱的省运会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定每人从“篮球”、“羽毛球”、“自行车”、“游泳”和“其他”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．

最喜爱的省运会项目的人数调查统计表

最喜爱的项目	人数
篮球	20
羽毛球	9
自行车	10
游泳	$a$
其他	$b$
合计

根据以上信息，请回答下列问题：

（1）这次调查的样本容量是　　， $a + b =$ 　　．

（2）扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角为　　．

（3）若该校有1200名学生，估计该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数．

如图①，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3$ 经过点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 两点，且与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于 $x$ 轴，并沿 $x$ 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 $P$ 、 $Q$ 两点（点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧），连接 $PQ$ ，在线段 $PQ$ 上方抛物线上有一动点 $D$ ，连接 $DP$ 、 $DQ$ ．

（Ⅰ）若点 $P$ 的横坐标为 $- \frac{1}{2}$ ，求 $ΔDPQ$ 面积的最大值，并求此时点 $D$ 的坐标；

（Ⅱ）直尺在平移过程中， $ΔDPQ$ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．

【发现】如图①，已知等边 $ΔABC$ ，将直角三角板的 $60 °$ 角顶点 $D$ 任意放在 $BC$ 边上（点 $D$ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合），使两边分别交线段 $AB$ 、 $AC$ 于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）若 $AB = 6$ ， $AE = 4$ ， $BD = 2$ ，则 $CF =$ 　　；

（2）求证： $ΔEBD ∽ ΔDCF$ ．

【思考】若将图①中的三角板的顶点 $D$ 在 $BC$ 边上移动，保持三角板与边 $AB$ 、 $AC$ 的两个交点 $E$ 、 $F$ 都存在，连接 $EF$ ，如图②所示，问：点 $D$ 是否存在某一位置，使 $ED$ 平分 $∠ BEF$ 且 $FD$ 平分 $∠ CFE$ ？若存在，求出 $\frac{BD}{BC}$ 的值；若不存在，请说明理由．

【探索】如图③，在等腰 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $O$ 为 $BC$ 边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点 $O$ 处（其中 $∠ MON = ∠ B)$ ，使两条边分别交边 $AB$ 、 $AC$ 于点 $E$ 、 $F$ （点 $E$ 、 $F$ 均不与 $ΔABC$ 的顶点重合），连接 $EF$ ．设 $∠ B = α$ ，则 $ΔAEF$ 与 $ΔABC$ 的周长之比为　　（用含 $α$ 的表达式表示）．