如图，在△ABC，ABAC，以AB为直径的⊙O分别交AC、B-优题课

题文

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在
AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．

（Ⅰ）求证：直线BF是⊙O的切线；
（Ⅱ）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

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如图，一次函数 $y = - x + 3$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在第一象限的图象交于 $A (1, a)$ 和 $B$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点 $P$ 在 $x$ 轴上，且 $ΔAPC$ 的面积为5，求点 $P$ 的坐标．

先化简，再选一个合适的数代入求值： $(\frac{x - 1}{x^{2} + x} - \frac{x - 3}{x^{2} - 1}) \div (\frac{2 x^{2} + x + 1}{x^{2} - x} - 1)$ ．

解方程： $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ ．

计算： $6 \sin 45 ° + | 2 \sqrt{2} - 7 | - {(\frac{1}{2})}^{- 3} + {(2019 - \sqrt{2019})}^{0}$ ．

如图，顶点为 $M$ 的抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (3, 0)$ ， $B (- 1, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在 $y$ 轴上是否存在一点 $P$ ，使得 $ΔPAM$ 为直角三角形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点 $D$ ，满足 $DA = OA$ ，过 $D$ 作 $DG ⊥ x$ 轴于点 $G$ ，设 $ΔADG$ 的内心为 $I$ ，试求 $CI$ 的最小值．