某书城开展学生优惠购书活动：凡一次性购书不超过200元的一律-优题课

某书城开展学生优惠购书活动：凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．
甲同学一次性购书标价的总和为100元，需付款元．
乙同学一次性购书标价的总和为x元，需付款元．
丙同学第一次去购书付款63元，第二次去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节约了37元，求该学生第二次购书实际付款多少元？

科目数学题型解答题难度较易

知识点：多元一次方程组

问题提出

（1）如图①，在 $ΔABC$ 中， $AB = 4$ ， $∠ A = 135 °$ ，点 $B$ 关于 $AC$ 所在直线的对称点为 $B'$ ，则 $BB'$ 的长度为　　．

问题探究

（2）如图②，半圆 $O$ 的直径 $AB = 10$ ， $C$ 是 $\hat{AB}$ 的中点，点 $D$ 在 $\hat{BC}$ 上，且 $\hat{CD} = 2 \hat{BD}$ ， $P$ 是 $AB$ 上的动点，试求 $PC + PD$ 的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形花坛 $AOB$ 的半径为 $20 m$ ， $∠ AOB = 45 °$ ．根据工程需要．现想在 $\hat{AB}$ 上选点 $P$ ，在边 $OA$ 上选点 $E$ ，在边 $OB$ 上选点 $F$ ，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个 $ΔPEF$ ，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带 $PE + EF + FP$ 的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的 $ΔPEF$ 为等腰三角形．试求 $PE + EF + FP$ 的值最小时的等腰 $ΔPEF$ 的面积．（安装损耗忽略不计）

已知抛物线 $L : y = m x^{2} - 8 x + 3 m$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 和 $B (- 1, 0)$ 两点，并与 $y$ 轴相交于点 $C$ ．抛物线 $L'$ 与 $L$ 关于坐标原点对称，点 $A$ 、 $B$ 在 $L'$ 上的对应点分别为 $A'$ 、 $B'$

（1）求抛物线 $L$ 的函数表达式；

（2）在抛物线 $L'$ 上是否存在点 $P$ ，使得△ $P A^{'} A$ 的面积等于△ $C B^{'} B$ 的面积？若存在，求点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上，且 $\hat{AD} = \hat{CD}$ ，过点 $D$ 作 $CB$ 的垂线，与 $CB$ 的延长线相交于点 $E$ ，并与 $AB$ 的延长线相交于点 $F$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径 $R = 5$ ， $AC = 8$ ，求 $DF$ 的长．

为了继承和发扬延安精神，满足青少年热爱红色革命根据地，了解延安革命历程的愿望，相关部门在当地中小学选拔了一批优秀共青团员和少先队员，组织他们利用节假日，在红色革命旧址（纪念馆）做“小小讲解员”，每位“小小讲解员”都要通过抽签的方式确定各自的讲解地点．讲解地点有： $A$ ．枣园革命旧址， $B$ ．杨家岭革命旧址， $C$ ．延安革命纪念馆， $D$ ．鲁艺学院旧址．抽签规则如下：

将正面分别写有字母 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的四张卡片（除了正面字母不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀，先由一位“小小讲解员”随机抽取一张卡片，这张卡片上的字母表示的讲解地点，即为他抽取的讲解地点，然后将卡片放回，洗匀，再由下一位“小小讲解员”抽取．已知小明和小亮都是“小小讲解员”．

（1）求小明抽到的讲解地点是“ $A$ ．枣园革命旧址”的概率；

（2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮抽到同一讲解地点的概率．

一天，小华爸爸开车带全家到西安游玩，实现爷爷奶奶想看大雁塔，游大唐芙蓉园的愿望，由导航可知，从小华家到西安大雁塔的路程为 $370 km$ ，他们全家早上 $7 : 00$ 从家出发，途中他们在一个服务区短暂休息之后，继续行驶，在上午 $10 : 00$ 时，他们距离西安大雁塔还有 $175 km$ ，如图是他们从家到西安大雁塔的过程中，行驶路程 $y (km)$ 与所用时间 $x (h)$ 之间的函数图象，请根据相关信息，解答下列问题：

（1）求小华一家在服务区休息了多长时间？

（2）求 $BC$ 所在直线的函数表达式，并求小华一家这天几点到达西安大雁塔？