小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度，如图，他在某一时刻-优题课

如图①，在 $ΔABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ， $AB = 4$ ， $BC = 3$ ．点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $AB - BC$ 以每秒5个单位长度的速度向点 $C$ 运动，同时点 $D$ 从点 $C$ 出发，沿 $CA$ 以每秒2个单位长度的速度向点 $A$ 运动，点 $P$ 到达点 $C$ 时，点 $P$ 、 $D$ 同时停止运动．当点 $P$ 不与点 $A$ 、 $C$ 重合时，作点 $P$ 关于直线 $AC$ 的对称点 $Q$ ，连结 $PQ$ 交 $AC$ 于点 $E$ ，连结 $DP$ 、 $DQ$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

（1）当点 $P$ 与点 $B$ 重合时，求 $t$ 的值．

（2）用含 $t$ 的代数式表示线段 $CE$ 的长．

（3）当 $ΔPDQ$ 为锐角三角形时，求 $t$ 的取值范围．

（4）如图②，取 $PD$ 的中点 $M$ ，连结 $QM$ ．当直线 $QM$ 与 $ΔABC$ 的一条直角边平行时，直接写出 $t$ 的值．

【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？

【问题解决】如图①，已知矩形纸片 $ABCD (AB > AD)$ ，将矩形纸片沿过点 $D$ 的直线折叠，使点 $A$ 落在边 $DC$ 上，点 $A$ 的对应点为 $A'$ ，折痕为 $DE$ ，点 $E$ 在 $AB$ 上．求证：四边形 $AEA' D$ 是正方形．

【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△ $A' DE$ 为等腰三角形．现将图①中的点 $A'$ 沿 $DC$ 向右平移至点 $Q$ 处（点 $Q$ 在点 $C$ 的左侧），如图②，折痕为 $PF$ ，点 $F$ 在 $DC$ 上，点 $P$ 在 $AB$ 上，那么 $ΔPQF$ 还是等腰三角形吗？请说明理由．

[结论应用]在图②中，当 $QC = QP$ 时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点 $C$ 与点 $P$ 重合，折痕为 $QG$ ，点 $G$ 在 $AB$ 上．要使四边形 $PGQF$ 为菱形，则 $\frac{AD}{AB} =$ 　　．

已知 $A$ 、 $B$ 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从 $A$ 地出发匀速开往 $B$ 地，甲车出发两小时后，乙车从 $B$ 地出发匀速开往 $A$ 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和 $y$ （千米）与甲车行驶的时间 $x$ （时 $)$ 之间的函数关系如图所示．

（1）甲车的速度为　　千米 $/$ 时， $a$ 的值为　　．

（2）求乙车出发后， $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．

空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．

$2014 - 2019$ 年长春市空气质量级别天数统计表

空气质量级别天数年份	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染
2014	30	215	73	28	13	6
2015	43	193	87	19	15	8
2016	51	237	58	15	5	0
2017	65	211	62	16	9	2
2018	123	202	39	0	1	0
2019	126	180	38	16	5	0

根据上面的统计图表回答下列问题：

（1）长春市从2014年到2019年空气质量为"达标"的天数最多的是　　年．

（2）长春市从2014年到2019年空气质量为"重度污染"的天数的中位数为　　天，平均数为　　天．

（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为"优"的天数增加最多的是　　年，这一年空气质量为"优"的天数的年增长率约为　　（精确到 $1 %)$ ．

（空气质量为"优"的天数的增长率 $= \frac{今年空气质量为 ″ 优 ″ 的天数 - 去年空气质量为 ″ 优 ″ 的天数}{去年空气质量为 ″ 优 ″ 的天数} \times 100 %)$

（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．

如图，在 $▱ ABCD$ 中， $O$ 是对角线 $AC$ 、 $BD$ 的交点， $BE ⊥ AC$ ， $DF ⊥ AC$ ，垂足分别为点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $OE = OF$ ．

（2）若 $BE = 5$ ， $OF = 2$ ，求 $\tan ∠ OBE$ 的值．