某工厂设计了一款产品，成本价为每件20元．投放市场进行试销，-优题课

综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 $▱ ABCD$ 中， $BE ⊥ AD$ ，垂足为 $E$ ， $F$ 为 $CD$ 的中点，连接 $EF$ ， $BF$ ，试猜想 $EF$ 与 $BF$ 的数量关系，并加以证明．

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将 $▱ ABCD$ 沿着 $BF (F$ 为 $CD$ 的中点）所在直线折叠，如图②，点 $C$ 的对应点为 $C'$ ，连接 $DC'$ 并延长交 $AB$ 于点 $G$ ，请判断 $AG$ 与 $BG$ 的数量关系，并加以证明．

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将 $▱ ABCD$ 沿过点 $B$ 的直线折叠，如图③，点 $A$ 的对应点为 $A'$ ，使 $A' B ⊥ CD$ 于点 $H$ ，折痕交 $AD$ 于点 $M$ ，连接 $A' M$ ，交 $CD$ 于点 $N$ ．该小组提出一个问题：若此 $▱ ABCD$ 的面积为20，边长 $AB = 5$ ， $BC = 2 \sqrt{5}$ ，求图中阴影部分（四边形 $BHNM)$ 的面积．请你思考此问题，直接写出结果．

某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校"综合与实践"活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得 $AB = 100 cm$ ， $BC = 80 cm$ ， $∠ ABC = 120 °$ ， $∠ BCD = 75 °$ ，四边形 $DEFG$ 为矩形，且 $DE = 5 cm$ ．请帮助该小组求出指示牌最高点 $A$ 到地面 $EF$ 的距离（结果精确到 $0.1 cm$ ．参考数据： $\sin 75 ° \approx 0.97$ ， $\cos 75 ° \approx 0.26$ ， $\tan 75 ° \approx 3.73$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41)$ ．

阅读与思考

请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．

图算法

图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系： $F = \frac{9}{5} C + 32$ 得出，当 $C = 10$ 时， $F = 50$ ．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种根据特制的线条进行计算的方法就是图算法．

再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？

我们可以根据公式 $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ 求得 $R$ 的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个 $120 °$ 的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．

图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．

任务：

（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；

（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：

①用公式 $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ 计算：当 $R_{1} = 7.5$ ， $R_{2} = 5$ 时， $R$ 的值为多少；

②如图，在 $ΔAOB$ 中， $∠ AOB = 120 °$ ， $OC$ 是 $ΔAOB$ 的角平分线， $OA = 7.5$ ， $OB = 5$ ，用你所学的几何知识求线段 $OC$ 的长．

近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D)$ ．为了解同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图和统计表（均不完整）．

“中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷

请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后“ $[? ?]$ ”内打“ $\sqrt$ ”，非常感谢您的合作．

$A$ ．“诵读中国”经典诵读 $[? ?]$

$B$ ．“诗教中国”诗词讲解 $[? ?]$

$C$ ．“笔墨中国”汉字书写 $[? ?]$

$D$ ．“印记中国”印章篆刻 $[? ?]$

请根据图表提供的信息，解答下列问题：

（1）参与本次问卷调查的总人数为　　人，统计表中 $C$ 的百分比 $m$ 为　　；

（2）请补全统计图；

（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求出表示 $C$ 类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由．

（4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目（依次记为 $C$ ， $X$ ， $Q$ ， $D)$ ，由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据题目要求进行诗词讲解，请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率．

太原武宿国际机场简称"太原机场"，是山西省开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的 $\frac{5}{3}$ 倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．

售价（元∕件）	……	30	40	50	60	……
日销售量（件）	……	500	400	300	200	……