先化简，再求值：请你任意选择一个你所喜欢的的值代入求值．-优题课

车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 中，可随机选择其中的一个通过．

（1）一辆车经过此收费站时，选择 $A$ 通道通过的概率是　　；

（2）求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．

解不等式组 $\{\begin{matrix} 2 x + 3 ⩾ 0 \\ 5 - \frac{5}{3} x > 0 \end{matrix}$ ，并求出它的所有整数解．

计算或化简：

（1） $- 2^{2} + {(π - 2017)}^{0} - 2 \sin 60 ° + | 1 - \sqrt{3} |$ ；

（2） $a (3 - 2 a) + 2 (a + 1) (a - 1)$ ．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 经过 $A$ 、 $C$ 两点，与 $x$ 轴的另一交点为点 $B$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点 $D$ 为直线 $AC$ 上方抛物线上一动点，

①连接 $BC$ 、 $CD$ ，设直线 $BD$ 交线段 $AC$ 于点 $E$ ， $ΔCDE$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔBCE$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值；

②过点 $D$ 作 $DF ⊥ AC$ ，垂足为点 $F$ ，连接 $CD$ ，是否存在点 $D$ ，使得 $ΔCDF$ 中的某个角恰好等于 $∠ BAC$ 的2倍？若存在，求点 $D$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

（探索发现）

如图①，是一张直角三角形纸片， $∠ B = 90 °$ ，小明想从中剪出一个以 $∠ B$ 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 $DE$ 、 $EF$ 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为　　．

（拓展应用）

如图②，在 $ΔABC$ 中， $BC = a$ ， $BC$ 边上的高 $AD = h$ ，矩形 $PQMN$ 的顶点 $P$ 、 $N$ 分别在边 $AB$ 、 $AC$ 上，顶点 $Q$ 、 $M$ 在边 $BC$ 上，则矩形 $PQMN$ 面积的最大值为　　．（用含 $a$ ， $h$ 的代数式表示）

（灵活应用）

如图③，有一块“缺角矩形” $ABCDE$ ， $AB = 32$ ， $BC = 40$ ， $AE = 20$ ， $CD = 16$ ，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（ $∠ B$ 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

（实际应用）

如图④，现有一块四边形的木板余料 $ABCD$ ，经测量 $AB = 50 cm$ ， $BC = 108 cm$ ， $CD = 60 cm$ ，且 $\tan B = \tan C = \frac{4}{3}$ ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 $M$ 、 $N$ 在边 $BC$ 上且面积最大的矩形 $PQMN$ ，求该矩形的面积．