已知椭圆：的离心率为，且过点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)-优题课

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题文

已知椭圆：的离心率为，且过点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)垂直于坐标轴的直线与椭圆相交于、两点，若以为直径的圆经过坐标原点.证明：圆的半径为定值.

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已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \sin^{2} (x - \frac{π}{6}), x \in R$

（Ⅰ）求 $f (x)$ 最小正周期;
（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值.

已知函数 $f (x) = - 2 \ln x + x^{2} - 2 a x + a^{2}$ ，其中 $a > 0$ .
（Ⅰ）设 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，讨论 $g (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）证明：存在 $a \in (0, 1)$ ，使得 $f (x) \geq 0$ 恒成立，且 $f (x) = 0$ 在区间 $(1, + \infty)$ 内有唯一解.

如图,椭圆E: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ,点 $P (0, 1)$ 在短轴 $C D$ 上,且 $\overset{⇀}{P C} \cdot \overset{⇀}{P D} = - 1$

（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程；
（Ⅱ）设 $O$ 为坐标原点,过点 $P$ 的动直线与椭圆交于 $A 、 B$ 两点.是否存在常数 $λ$ ,使得 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} + λ \overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B}$ 为定值？若存在,求 $λ$ 的值;若不存在,请说明理由.

已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为 $△ A B C$ 的内角， $\tan A$ 、 $t a n B$ 是关于方程 $x^{2} ＋ p x － p ＋ 1 ＝ 0 （ p \in R ）$ 两个实根.
（Ⅰ）求 $C$ 的大小
（Ⅱ）若 $A B ＝ 1$ ， $A C ＝ \sqrt{6}$ ，求 $p$ 的值

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示：

（Ⅰ）请按字母 $F, G, H$ 标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（Ⅱ）判断平面 $B E G$ 与平面 $A C H$ 的位置关系,并说明你的结论.
（Ⅲ）证明：直线 $D F ⊥$ 平面 $B E G$ .

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